Розподіл домішки уздовж зливка з урахуванням її випаровування із стопу

 

На практиці в деяких випадках необхідно легувати кристали леткими домішками (наприклад, для елементів IV групи - германію й кремнію - леткими домішками є елементи V групи - фосфор, сурма й миш'як), тому аналізуючи розподіл домішок у процесі вирощування кристала необхідно врахувати процес перерозподілу леткого компонента між стопом і газовою фазою, що роблять за допомогою наближень Боомгардта, в яких зберігаються всі припущення пфаннівского наближення, крім останнього про нелетючість домішки.

Урахування леткої домішки проводять так:

а) обміну домішкою між кристалом і газовою фазою немає;

б) обмін домішкою відбувається між стопом і газовою фазою; газова фаза є однорідною, тобто коефіцієнт дифузії леткої домішки в газовій фазі D _газ = ;

в) швидкість обміну домішкою між стопом і газовою фазою обмежується швидкістю поверхневої взаємодії, тобто кінетикою при з'єднання або від'єднання частинок, і пропорційна різниці між поточною С і рівноважною С _р концентраціями леткої домішки у стопі.

Отже, якщо домішка летка, то процес кристалізації стопу супроводжуватиметься не тільки перерозподілом домішки між рідкою й твердою фазами, але одночасно й її випаровуванням із стопу. З урахуванням наближень Боомгардта рівняння матеріального балансу:

dQ _т + dQ _р + dQ _газ = 0, (2.1)

де dQ _т, dQ _р, dQ _газ - зміна кількості атомів легуючої домішки в процесі кристалізації відповідно у твердій, рідкій і газовій фазах.

Вважаючи, що за час dt об’єм твердої фази, яка закристалізува-

лася, складе dV _т, запишемо рівняння матеріального балансу у вигляді:

С _т dV _т + CdV + VdC + a F (С – С _р) dt = 0, (2.2)

де a - лінійний коефіцієнт випаровування (коефіцієнт міжфазної взаємодії); F - площа поверхні випаровування.

Рівняння балансу об’ємів можна представити у вигляді (1.11), оскільки процес випаровування домішки із стопу істотно не впливатиме на зміну об’єму стопу.

Враховуючи, що dV _т = fSdt, де f - швидкість кристалізації; S - поперечний перетин кристала, а також додаючи частку стопу, який закристалізувався, g = 1 – , визначимо dg так:

dg = – = = . (2.3)

З (2.3) виразимо величини dV = – V ₀ dg; dV _т = V ₀ dg; dg = , а також враховуючи, що С _т = kС, запишемо рівняння матеріального балансу (2.2) у наступному вигляді:

kСV ₀ dg – CV ₀ dg + (1 – g) dC + V ₀(C – C _p) dg = 0. (2.4)

Уведемо поняття наведеного коефіцієнта випаровування k _в:

k _в = (2.5)

і узагальненого коефіцієнта розподілу k _заг, який у випадку вирощування кристалів у вакуумі визначається як

k _заг = k + k _в, (2.6)

де k - ефективний коефіцієнт розподілу.

З урахуванням (2.5) і (2.6) перепишемо рівняння (2.3):

[ kС – С + k _и(С – С_р)] dg = – (1 – g) dC. (2.7)

Беручи до уваги, що при g = 0 концентрація С = С ₀, після розділу змінних і інтегрування одержимо наступний вираз для розподілу домішки по довжині кристала, легованого леткою домішкою:

С _т = . (2.8)

Практичний інтерес представляє вирощування кристала у вакуумі, коли С _р=0. Для цього варіанта легування рівняння (2.8) таке:

С _т = kС ₀(1 – g) ^{k заг–1}. (2.9)

Якщо домішка є нелеткою, то вираз (2.9) перетвориться в рівняння Галлівера (1.14). Графічно розподіл леткої домішки уздовж зливка наведено на рис. 2.1 для різних значень узагальненого коефіцієнта розподілу. У випадку k ₀ < 1 домішка звичайно накопичується у стопі з ростом кристала. Через випаровування леткого компонента його концентрація в рідкій фазі зменшується, тому розподіл домішки уздовж зливка стає більш однорідним.

При k _заг>1 процес випаровування домішки із стопу переважає, і концентрація домішки в кристалі починає убувати з його ростом.

Найцікавішим випадком отримання однорідно легованих кристалів є метод компенсаційного випаровування. Він реалізується коли процес накопичення леткої домішки у стопі компенсується її випаровуванням з рідкої фази.

Математично цю умову записують як k _заг=1. Тоді С _т= kС ₀, де С ₀ - концентрація домішки у стопі до початку росту кристала.