Линейная зависимость n-векторов

Система векторов:

α₁, α₂, …, α_r (13)

называется линейно зависимой, если существуют такие числа k₁, k₂, …, k_r, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство

k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_rα_r = 0 (14)

Если система векторов независима, то и любая ее подсистема также линено независима. Система единичных векторов в n - мерном векторном пространстве:

ε₁ = (1, 0, 0, …, 0),

ε₂ = (0, 1, 0, …, 0),

................

ε_n = (0, 0, 0, …, 1)

линейно независима

Важные свойства систем векторов:

1. Всякие s векторов в n - мерном векторном пространстве при s > n - линейно зависимая система векторов;

2. Система n - мерных векторов называется максимальной, если добавление к этой системе любого n - мерного вектора дает уже линейно зависимую систему;

3. В n - мерном пространстве любая максимальная линейно независимая система векторов состоит из n вектор, их бесконечное множество;

4. Если в данной линейно зависимой системе векторов выделены две максимальные линейно независимые подсистемы, то эти подсистемы содержат равное число векторов;

5. Любая максимальная линейно независимая подсистема векторов заданной системы векторов может быть принята в качестве базиса, и тогда любой вектор этой системы векторов может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

6. Две системы векторов эквивалентны, если каждая из них линейно выражается через другую. Всякие две эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат равное число векторов.

7. Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом этой системы.

Ниже приводится Пример как в данной системе векторов выделить линейно независимую подсистемы.

☺ Пример 74. Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой: α₁ = (5, 4, 3), α₂ = (3, 3, 2), α₃ = (8, 1, 3). Если система этих векторов линейно зависима, то найти одну из линейных комбинаций этих векторов.

Решение: Составим линейную комбинацию векторов:

x₁α₁ + x₂α₂ + x₃α₃ = 0,

или x₁(5, 4, 3) + x₂(3, 3, 2) + x₃(8, 1, 3) = (0, 0, 0),

что равносильно системе уравнений которую станем решать методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

1 шаг

2 шаг

2 шаг

-7 x3

-2

-9

9 x3

→

-1

→

→

1-й шаг: 1R-2R; 2R-3R; 3R-2Rх3; 2-й шаг: 2R-1R; 3R+2R; 3 -й шаг: переносим столбец x₃ в правую часть уравнения и присваиваем x₃ произвольные значения.

Ответ: Система заданных векторов линейно зависима. Одна из их линейных комбинаций может быть получена при x₃ = 1:

-7α₁ + 9α₂ + 1α₃ = 0, или α₃ = 7α₁ - 9α₂

Пример 75. Выясним, является ли система векторов линейно зависимой или линейно неза-висимой: α₁ = (2,-1, 3, 5), α₂ = (4,-3, 1, 3), α₃ = (3, -2, 3, 4), α₄ = (4,-1,15,17), α₅ = (7,-6,-7,0), Если система этих векторов линейно зависима, то найти одну из линейных комбинаций этих векторов - базис. Через этот базис выразим остальные векторы

Решение: Составим линейную комбинацию векторов:

x₁α₁ + x₂α₂ + x₃α₃ + x₄α₄ + x₅α₅ = 0,

или x₁(2,-1, 3, 5) + x₂(4,-3, 1, 3) + x₃(3, -2, 3, 4) + x₄(4,-1,15,17) + x₅(7,-6,-7,0) = (0, 0, 0, 0, 0),

что равносильно системе уравнений которую станем решать методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

						1 шаг							2 шаг							3 шаг
-1	-3	-2	-1	-6
				-7							-7							-7
						→							→				-1			→

1-й шаг: 2R+1R; 4R-3R; 2-й шаг:1R-4R; 4R-3R; делим 1-ю строку на общий множитель 2; 3 -й шаг: поменяем местами 1-ю и 2-ю строки; 4R-1R; 3R-1Rх3; 3R+2Rх2;

						4 шаг							5 шаг
																	-3
	-2			-10							-5							-5
		-1	-4			→							→

4-й шаг: 3R+2R; делим 3-ю строку на общий множитель 2; 4R+3R; 5-й шаг:1R-2R; 2R-3R.

Из последней таблицы следует, векторы α₁, α₂, α₃, α₄, α₅ – линейно зависимы, т.к. за счет выбора значений свободных неизвестных x₄, и x₅ получаем линейную комбинацию векторов с ненулевыми коэффициентами. Если проделать те же линейные преобразования с векторами α₁, α₂, α₃, то убедимся, что эти векторы линейно независимы (см. таблицу) и их можно использовать в виде базиса данной системы векторов.

Найдем теперь разложение векторов α₄, α₅ в базисе α₁, α₂, α₃, вновь воспользовавшись методом Гаусса:

а) разложение для вектора α₄:

α₄ = x₁α₁ + x₂α₂ + x₃α₃,

или (4,-1,15,17) = x₁(2,-1, 3, 5) + x₂(4,-3, 1, 3) + x₃(3, -2, 3, 4),

что равносильно системе уравнений которую станем решать методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса):

				1 шаг					2 шаг					3 шаг
-1	-3	-2	-1			-2	-1				-2	-1
											-2
				→					→			-1	-4	→

1-й шаг: 1R+2R; 4R-3R; 2R+1R; 2-й шаг:3R-1Rх3; 4R-1Rх2; 3 -й шаг: 1R+4R; 3R-2R; 4R+3R;

			-1	4 шаг				-1	5 шаг
	-2	-1				-2							-3
				→					→

4 -й шаг: 2R+3R; 5 -й шаг: делим 2-ю строку на общий множитель -2; 1R-2R.

Из последней таблицы следует разложение:

α₄ = 2α₁ -3α₂ + 4α₃,

б) разложение для вектора α₅:

α₅ = x₁α₁ + x₂α₂ + x₃α₃,

или (7,-6,-7,0) = x₁(2,-1, 3, 5) + x₂(4,-3, 1, 3) + x₃(3, -2, 3, 4),

что равносильно системе уравнений которую станем решать, как и для α₄ методом Гаусса:

				1 шаг					2 шаг					3 шаг
-1	-3	-2	-6			-2	-1	-5			-2	-1	-5
			-7					-7			-2		-10
				→					→			-1		→

1-й шаг: 1R+2R; 4R-3R; 2R+1R; 2-й шаг:3R-1Rх3; 4R-1Rх2; 3 -й шаг: 1R+4R; 3R-2R; 4R+3R;

				4 шаг					5 шаг
	-2	-1	-5			-2		-10
			-5					-5					-5
				→					→

4 -й шаг: 2R+3R; 5 -й шаг: делим 2-ю строку на общий множитель -2; 1R-2R.

Из последней таблицы следует разложение:

α₅ = 1α₁ + 5α₂ - 5α₃,

Ответ: Один из базисов: α₁, α₂, α₃, в котором разложения: α₄ = 2α₁ -3α₂ + 4α₃,

α₅ = 1α₁ + 5α₂ - 5α₃.

☻ Решите примеры:

Пример 76. Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой: α₁ = (2, -3, 1), α₂ = (3, -1, 5), α₃ = (1, -4, 3).

Ответ: Система заданных векторов линейно независима.

Пример 77. Выясним, является ли система векторов линейно зависимой или линейно неза-висимой: α₁ = (1,2, 3, -4), α₂ = (2,3, -4, 1), α₃ = (2, -5, 8, -3), α₄ = (5, 26,-9,-12), α₅ = (3,-4,1, 2), Если система этих векторов линейно зависима, то найти одну из линейных комбинаций этих векторов - базис. Через этот базис выразим остальные векторы.

Ответ: Один из базисов: α₁, α₂, α₅, в котором разложения: α₃ = 1α₁ -1α₂ + 1α₅,

α₄ = 3α₁ + 4α₂ - 2α₅.

Пример 78. Найти все значения λ, при которых вектор b линейно выражается через векторы α₁, α₂, α₃: α₁ = (2, 3, 5),

α₂ = (3, 7, 8),

α₃ = (1, -6, 1),

b = (7, -2, λ),

Ответ: λ = 15:

Вопросы для самопроверки:

1. Можно ли, применяя рассмотренные задачи, решить вопрос о линейной зависимости строк (столбцов) матрицы?

2. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она зависима. Почему?

3. Почему всякая максимальная линейно независимая система векторов n - мерного векторного пространства состоит из n векторов?

Ранг матрицы

В предыдущем параграфе был показан прием исследования линейной зависимости системы векторов при помощи системы линейных однородных уравнений, решаемой методом Гаусса. Для исследования произвольной системы линейных уравнений более удобен предлагаемый ниже метод.

Пусть дана матрица

, (15)

содержащая s строк и n столбцов, причем числа s и n никак не связаны между собой. Столбцы матрицы А рассматриваются как s - мерные векторы, которые могут быть как линейно зависимы-ми, так и независимыми. Можно рассматривать ранг системы столбцов матрицы А, т.е. макси-мальное число линейно независимых ее столбцов, его называют рангом матрицы А.

Так же можно рассматривать строки матрицы А как n - мерные векторы. Оказывается, ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов, т.е. рангу матрицы (результат неожиданный, если учесть неограниченную свободу записи любой строки и любого столбца!).

В соответствии с теоремой о ранге матрицы: ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы.