Теорема умножения определителей

Теорема 1: Определитель произведения нескольких матриц n-го порядка равен произведению определителей этих матриц.

Замечание: теорема остается верной для любого из возможных правил умножения матрицы на матрицу: 1) «строка х строка», 2) «строка х столбец», 3) «столбец х строка», 4) «столбец х столбец».

Говорят, что квадратная матрица невырожденная, если ее определитель не равен нулю.

Следствие: Произведение нескольких невырожденных квадратных матриц - невырожденная матрица.

☺ Пример 27. Имеются матрицы и . Составлено произведение этих матриц А ∙ В = С. по каждому из возможных правил (см. замечание к теореме). Покажем выполнение теоремы умножения определителей при любом принимаемом правиле умножения матриц (без изменения их порядка!).

Решение: Вычисления проведем по следующей схеме:

1) Вычислим определитель матрицы А: 1-й шаг: 2С-1С; 3С-1С; 2-й шаг: 1R-2Rx2; 3-й шаг: разложение определителя по 3-му столбцу; 4-й шаг: вычисление определителя 2-го порядка:

1	2	3	1 шаг	1	1	2	2 шаг	7	3	0	3 шаг	7	3	4 шаг
3	4	2	=	3	1	1	=	3	1	-1	=(-1)∙(-1)2+3	4	1	= -5
4	5	4		4	1	0		4	1	0

2) Вычислим определитель матрицы В: 1-й шаг: 3R-2R; 2-й шаг: 3С-2С; 3-й шаг: разложение определителя по 3-й строке; 4-й шаг: вычисление определителя 2-го порядка:

2	-3	1	1 шаг	2	-3	1	2 шаг	2	-3	4	3 шаг	2	4	4 шаг
1	-4	3	=	1	-4	3	=	1	-4	7	=(-1)∙(-1)3+2	1	7	= 10
1	-5	2		0	-1	-1		0	-1	0

3) Используя результаты п.1,2), можем записать произведение определителей:

4) Используя правило произведения матриц «строка х строка», запишем матрицу:

.

5) Вычислим определитель матрицы С₁: 1-й шаг: 3R-2R; 2R-1Rx4; 2-й шаг: 1R+3R; 3-й шаг: разложение определителя по 1-му столбцу; 4-й шаг: вычисление определителя 2-го порядка:

-1	2	-3	1 шаг	-1	2	-3	2 шаг	0	5	-3	3 шаг	5	-3	4 шаг
-4	-7	-13	=	0	-15	-1	=	0	-15	-1	=(1)∙(-1)3+1	-15	-1	= -50
-3	5	-13		1	3	0			3	0

6) Используя правило произведения матриц «строка х столбец», запишем матрицу:

.

7) Вычислим определитель матрицы С₂: 1-й шаг: 2С+3Сх2; 3С-1Сх2; 2-й шаг: 2R-3R; 3R-1Rх2; 3-й шаг: 3R-2Rх2; 3R-1Rх2; 4-й шаг: разложение определителя по 2-му столбцу; 5-й шаг: вычисление определителя 2-го порядка:

7	-26	13	1 шаг	7	0	-1	2 шаг	7	0	-1	3 шаг	7	0	-1	4 шаг		-1	5 шаг
12	-35	19	=	12	3	-5	=	-5	1	2	=	-5		2	=(1)∙(-1)3+1		-9	= -50
17	-52	27		17	2	-7		3	2	-5				-9

8) Используя правило произведения матриц «столбец х строка», запишем матрицу:

.

9) Вычислим определитель матрицы С₃: 1-й шаг: 1R-2R; 2R-1Rx4; 2-й шаг: разложение определителя по 1-й строке; 3-й шаг: вычисление определителя 2-го порядка:

-3	1	-6	1 шаг	0	0		2 шаг	-3	1	3 шаг
-3	1	-8	=	-3	1	-8	=(2)∙(-1)1+3	4	7	= -50
4	7	1		4	7	1

10) Используя правило произведения матриц «столбец х столбец», запишем матрицу:

.

11) Вычислим определитель матрицы С₄: 1-й шаг: 2С+3Сх2; 2-й шаг: 3С-1Сх2; 3-й шаг: 1С-2Сх9; 4-й шаг: разложение определителя по 2-му столбцу; 5-й шаг: вычисление определителя 2-го порядка:

9	-35	18	1 шаг	9	1	18	2 шаг	9	1	0	3 шаг	0		0	4 шаг		-2	5 шаг
13	-47	24	=	13	1	24	=	13	1	-2	=	4	1	-2	=(1)∙(-1)1+2		-7	= -50
12	-37	17		12	-3	17		12	-3	-7			-3	-7

12) Доказано для любого из правил умножения матриц верно:

▬►

Ответ: Теорема умножения определителей выполняется при любом принимаемом правиле умножения матриц (без изменения их порядка!).

Пример 28. Имеются матрицы и . Составлены произведения этих матриц А ∙ В = С и В ∙ А = D. Сравним определители матриц С и D.

Решение: Вычисления проведем по следующей схеме:

1) Используя правило произведения матриц «строка х столбец», запишем:

,

где d₁₁ = 2∙1 +(-3)∙3 +1∙4 = -3, d₁₂ = 2∙2 +(-3)∙4 +1∙5 = -3,

d₁₃ = 2∙3 +(-3)∙2 +1∙4 = 4,

d₂₁ = 1∙1 +(-4)∙3 +3∙4 = 1, d₂₂ = 1∙2 +(-4)∙4 +3∙5 = 1,

d₂₃ = 1∙3 +(-4)∙2 +3∙4 = 7,

d₃₁ = 1∙1 +(-5)∙3 +2∙4 = -6, d₃₂ = 1∙2 +(-5)∙4 +2∙5 = -8,

d₃₃ = 1∙3 +(-5)∙2 +2∙4 = 1,

 

2) Вычислим определитель матрицы D: 1-й шаг: 1R+2Rх3; 2-й шаг: 2 -й шаг: разложение определителя по 1-й строке; 3-й шаг: вычисление определителя 2-го порядка:

-3	-3	4	1 шаг	0	0		2 шаг	1	1	3 шаг
1	1	7	=	1	1	7	=(25)∙(-1)1+3	-6	-8	= -50
-6	-8	1		-6	-8	1

Ответ: Теорема умножения определителей выполняется при любом принимаемом правиле умножения матриц и при любом их порядке!.

☻ Решите примеры:

Пример 29. Имеются матрицы и . Составьте произведение этих матриц А ∙ В = С. по каждому из возможных правил (см. замечание к теореме). Покажите выполнение теоремы умножения определителей при любом принимаемом правиле умножения матриц (без изменения их порядка!).

Пример 30. Имеются матрицы и . Составьте произведения этих матриц А ∙ В = С и В ∙ А = D. Сравните определители матриц С и D.

Вопросы для самопроверки:

1. При каких условиях квадратная матрица С =А ∙ В имеет определитель, равный нулю?

2. Для матриц А и В составлены произведения А ∙ В = С и В ∙ А = D. При каких условиях возможно равенство: ?

3. Для матриц А и В составлены произведения А ∙ В = С и В ∙ А = D. Может ли матрица С быть невырожденной, а матрица D вырожденной?