Рассмотрим более сложные задачи.

Путешествие в страну занимательных процентов

Занятия 1–4. Что мы знаем о процентах? Три основные задачи на проценты. Занимательные задачи на проценты.

 

Мы уже знаем, что процентом называется сотая доля числа. Введение процентов было удобным для оценки содержания одного вещества в другом, например, содержания металла в руде, соли в воде, жира в молоке и т. д.

 

Для обозначения процентов используют символ «%».Этот знак, полагают, произошел от итальянского слова cento, что означает «сто». Знак «%» впервые появился в итальянских рукописях XV в. При процентных расчетах писали сокращенно cto, затем, постепенно упрощая запись, буква t трансформировалась в черту, а затем для обозначения процента стали использовать знак, которым мы пользуемся сейчас.

 

Слово «процент» происходит от латинских слов procentum, что означает «за сотню» или «со ста». Поскольку проценты выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях, использование процентов дает возможность легко сравнивать части между собой и части с целым и упрощать расчеты.

 

Идея выражения частей целого в одних и тех же долях родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными долями, и была вызвана практическими соображениями. О том, что процентные операции широко практиковались в Древнем Вавилоне, свидетельствуют дошедшие до наших дней «процентные» таблицы. Особенно распространены проценты были в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник человеку, давшему

взаймы за каждую сотню. Поэтому долгое время под процентами понимали прибыль или убыток в торговых денежных делах и сделках на каждые 100 денежных единиц. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В период XIII—XVI вв. процентным вычислениям уделяется много внимания в учебниках того времени. Первые печатные таблицы процентов издал Симон Стевин, который включил их в свою «Арифметику». Это произошло в 1585 г.

 

Сейчас процент — это частный случай десятичных дробей, сотая доля целого. Когда из различных веществ научились извлекать компоненты, то понадобилась более мелкая величина. Более мелкие тысячные доли по аналогии с процентами, выполняющие те же функции, называются промилле. Это слово произошло от латинского promill, которое означает «с тысячи» и имеет сходное с процентами обозначение «‰». Но на практике более удобными являются проценты, поскольку тысячные доли очень мелкие и применение их ограниченно, ими пользуются там, где имеют дело с мелкими величинами.

 

Основные задачи на проценты

 

В школьном курсе математики много внимания уделяется задачам на проценты. К основным таким задачам относятся:

1) нахождение процентов от данного числа;

2) нахождение числа по его процентам;

3) процентное отношение двух чисел.

 

Остановимся подробнее на каждом из этих типов задач.

 

1. Нахождение процентов от данного числа

К задачам этого типа относятся такие, в которых известно целое, составляющее 100 %, и необходимо найти какое-то количество процентов от этого целого. Например, найдите 25 % от числа 36.

Запишем краткое условие задачи:

а — 100 %;

х — 25 %;

x = 36* 25:100=9.

Задача 1. Для лесопитомника школьники собрали 60 кг семян дуба, акации, липы и клена. Желуди составляли 60 %, семена клена — 15 %, семена липы — 20 % всех семян, а остальное составляли семена акации. Сколько килограммов семян акации было собрано школьниками?

 

Решение.

Желуди — 60 %, семена клена — 15 %, семена акации — х кг, семена липы — 20 %, семена 60 кг — 100 %. Осталось 100. – 60.– 15 – 20=5 (%) — столько процентов семян акации было собрано школьниками, тогда x=( 60* 5)/100=3 (кг семян акации).

Ответ: 3 кг.

Задачи на закрепление

1. Найдите: 23%от числа 12; 150%от числа 4; 0,5%от числа 200.

2. Сравните 0,2 % от числа 200 и 4 % от числа 160.

3. В магазине купили 50 тетрадей в клетку и линейку.Тетради в линейку составили 30 % всех тетрадей. Сколько тетрадей в клетку и линейку было куплено в отдельности?

4. От куска веревки сначала отрезали 40 %, а затем —50 % от остатка. Сколько процентов осталось от первоначального куска веревки?

5. В зале библиотеки имеется 500 книг на английском, французском и немецком языках. Книги на английском языке составляют 36 % всех книг, на немецком — 40 %

всех книг, а остальные книги — на французском. Сколько книг на французском языке в зале библиотеки?

6. В двух мешках находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5 % муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках станет поровну.

Сколько килограммов муки было первоначально в каждом мешке?

 

2. Нахождение числа по его процентам

К задачам этого типа относятся такие, в которых известно некоторое количество процентов от целого, а само целое, составляющее 100 %, необходимо найти.

 

Например, найти число, если 40 % его составляет 24.

 

Запишем кратко условие задачи:

x — 100 %;

24 — 40 %;

x = 24* 100:40=60.

 

Рассмотрим более сложные задачи.

Задача 1. Ромашка при сушке теряет 84 % своей массы. Сколько получится сухой ромашки из 50 кг свежей? Сколько надо взять свежей ромашки, чтобы получить

32 кг сухой ромашки?

Решение. 100 % — вся масса (свежая); 84 % — теряет; 100 - 84 = 16 (%) [остается сухая масса];

50 кг — 100 %;

x кг — 16 %;

 

x= 50 * 16: 100 = 8 (кг сухой ромашки из 50 кг свежей);

 

y кг — 100 %;

32 кг — 16 %;

 

y = 32 * 100: 16 = 200 (кг свежей ромашки надо взять,чтобы получить 32 кг сухой).

Ответ: 8 кг; 200 кг.

 

Задача 2. Вес чая, получаемого из зеленого чайного листа, составляет 4 % веса листа. Сколько надо чайного листа, чтобы получить 5,6 кг чая? Сколько получится

чая из 750 кг чайного листа?

 

Решение

Лист: x кг — 100 %; лист: 750 кг — 100 %; чай: 5,6 кг — 4 %; чай: y кг — 4 %;

x= 5,6 * 100: 4= 140 (кг); y = 750 * 4: 100 = 30 (кг).

 

Ответ: 140 кг; 30 кг.

 

Задача 3. Арбуз массой 10 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Какова теперь масса арбуза?

 

Решение. Масса сухого вещества (сухое вещество —это вещество, которое остается после полного испарения воды) в арбузе:

 

100 - 99 = 1 (%) или 10* 0,01 = 0,1 (кг).

После того как арбуз усох, масса сухого вещества составила 100 – 98 _ 2 (%) от новой массы арбуза. Масса сухого вещества в арбузе не изменилась.

 

Пусть x кг — новая масса арбуза, тогда 2 % от x — это те самые 0,1 кг.

x — 100 %;

0,1 — 2 %;

 

x = 0,1* 100:2=5(кг).

 

Ответ: 5 кг.

 

Задачи на закрепление

1. Найдите число, если: a) 27%его равны 54; б) 114% его равны 456; в) 0,25 % его равны 50.

2. Сколько килограммов свежих грибов нужно собрать, чтобы получить 3 кг сушеных грибов, если известно, что грибы при сушке теряют 85 % своей массы?

3. Морская вода содержит 5 % соли. Сколько килограммов морской воды взяли, если соли в ней 2 кг?

4. Собрали 100 кг грибов с влажностью 98 %. После просушки влажность грибов стала 96 %. Какова масса грибов после просушки?

5. Собрали 12 кг желудей, влажность которых 60 %, желуди подсушили и довели влажность до 20 %. Сколько килограммов подсушенных желудей получили?

6. В сливах, собранных на даче, 90 % влажности, после подсушивания влажность слив стала 80 %. Сколько подсушенных слив получили из 50 кг собранных?

 

3. Процентное отношение двух чисел.

В этих задачах находят, какой процент одно число составляет от другого. При этом важно определить, какое число составляет 100 %. При решении таких задач пер

вое число делится на второе и результат умножается на100, т. е. по формуле:

n* 100 %:а

Например, задачу на нахождение процентного отношения чисел 2 и 3 можно сформулировать так: какой процент 2 составляет от 3? Тогда:

3 — 100 %;

2 — x %;

 

x = 2* 100:3=66 2/3(%); 2:3 *100 =66 2/3 (%).

 

Рассмотрим другой пример: найти процентное отношение чисел 3 и 2. В этом случае задачу можно переформулировать так: какой процент число 3 составляет от 2?

Тогда:

2 — 100 %;

3 — x %;

 

x = 3* 100:2=150 (%).

 

Задачи на закрепление

1. Какой процент число 3 составляет от 75?

2. Найдите процентное отношение чисел 5 и 25.

3. Найдите процентное отношение чисел 25 и 5.

4. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

 

Рассмотрим еще несколько задач.

 

Задача 1. Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько процентов фактическая выработка составляет от плановой? На сколько процентов

рабочий перевыполнил план?

 

Решение. 45: 36 = 1,25=125 (%); 125-100= 25 (%).

 

Ответ: 125 %; на 25 %.

 

Задача 2. Площадь первого участка земли 60 га, а второго — 48 га. На сколько процентов первый участок больше второго? На сколько процентов второй участок больше первого?

Решение. Разница этих участков — 12 га.

48 га — 100 %;

12 га — x %;

X= 12 *100:48=25 (%).

 

60 га — 100 %;

12 га — x %;

 

X= 12*100:60=20 (%).

 

Задачи различных типов

Задача 1. Число уменьшили на 20 %. На сколько процентов нужно увеличить полученный результат, чтобы получить первоначальное число?

Решение. Обозначим первоначальное число буквой a, тогда после уменьшения числа на 20%получим: a - 0,2 a = _ 0,8 a.

0,8 a — 100 %;

a — x %;

 

x=(a*10):0,8а= 125(%).

Получили, что первоначальное число составляет 125 % от нового числа и поэтому новое число нужно увеличить на 25 % [125 _ 100 _ 25 (%)].

 

Задача 2. Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12 %, а затем к вечеру еще на 5 % по сравнению с полуднем. Сколько процентов от утренней влажности воздуха составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?

 

Решение. Утром — x %, в полдень — на 12 % меньше, т. е. x- 0,12 x= 0,88 x (%). Вечером—еще на 5% меньше: 5% от 0,88 x — это 0,88 x* 0,05= 0,044 x (%),

0,88 x- 0,044 x = 0,836 x (%).

 

x — 100 %;

0,836 x — y %.

 

y % =0,836х:х*100=83,6 (%); 100- 83,6=16,4 (%).

 

Ответ: 83,6 %; на 16,4 %.

Задача 3. В одном из городов Латвии часть жителей умеет говорить только по латышски, часть — только по-русски. По латышски говорят 85 % всех жителей, по-русски — 75 %. Сколько процентов всех жителей говорят на обоих языках?

 

Решение. 100%-75%= 25 % всех жителей не говорят по-русски; 85%–25%=60% говорят по-русски и по-латышски.

 

Ответ: 60 %.

 

Задача 4. В бассейн проведена труба. Вследствие ее засорения приток воды уменьшился на 60 %. На сколько процентов в результате этого увеличится время заполнения бассейна?

 

Решение. 100 %- 60 %= 40 %= 0,4 — такую часть составляет оставшийся приток воды.

1: 0,4 =2,5 (раза) — во столько раз увеличится время, необходимое для наполнения бассейна, т. е. оно увеличится на 150 %. Покажите, что увеличение в 2,5 раза соответствует увеличению на 150 %.

Ответ: на 150 %.

Задача 6. Первое число равно 0,2, второе — 0,3. Сколько процентов составляет первое число от суммы этих чисел? На сколько процентов первое число меньше второго и на сколько процентов второе число больше первого?

Решение. 0,2+ 0,3 =0,5; 0,2: 0,5 =0,4 =40 (%);

 

(0,3 – 0,2): 0,2= 0,5 =50 (%); (0,3 – 0,2): 0,3=1/3=33 1/3(%).

 

Ответ: 40 %; на 50 %; на 33 1/3 %.

 

Контрольные вопросы

1. Что называется процентом?

2. Где впервые появились проценты?

3. Как появился знак, обозначающий проценты?

4. Как выразить проценты десятичной дробью? Поясните на примере.

5. Как найти несколько процентов от числа? Приведите примеры.

6. Как найти число по его процентам? Приведите примеры.

7. Как найти процентное отношение двух чисел? Поясните на примере.

8. Как можно найти 2 %, 5 %, 10 %, 20 %, 25 %, 50 %, 75 % от числа?

9. Расположите в порядке возрастания: 0,2 % от числа 10; 10 % от числа 0,62; 20 % от числа 1; 60 % от числа 0,8.

10. Расположите в порядке убывания: 0,3 % от числа 3; 126 % от числа 3; 98 % от числа 3; число 3.

11. Число увеличили на 100 %. На сколько увеличилось первоначальное число? Во сколько раз увеличилось число? Почему?

12. Во сколько раз увеличилось число, если его увеличили на 200 %? На 300 %?

13. На сколько процентов нужно увеличить данное число, чтобы оно увеличилось в 2 раза? В 1,5 раза?

14. Сравните с единицей: 0,5 % от 0,5; 2 % от 10; 200 % от 0,7; 5 % от 20.

15. Цена товара повысилась в 2 раза. На сколько процентов увеличилась цена товара?

16. Цена товара снизилась в 2 раза. На сколько процентов стала меньше цена товара?

17. Сколько процентов от одной тысячи рублей составляют 10 р.? 20 р.? 50 р.?

18. Укажите число, если число, которое больше его на 50 %, равно 30.