Кинематика вращательного движения. 1.1. Основные понятия раздела “Кинематика”

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Кинематика

1.1. Основные понятия раздела “Кинематика”

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются способы математического описания движения без выяснения его физических причин.

В механике рассматривается не движение реальных объектов, а их моделей.

Материальная точка -тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Абсолютно твердое тело, или, короче, твердое тело - это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения.

Системой отсчета называется тело отсчета вместе с приборами для измерения расстояний и промежутков времени. С телом отсчета часто связывается система координат.

Траекторией называется линия, по которой материальная точка движется в пространстве.

Все возможные движения твердого тела можно делятся на пять видов: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение. Первые два движения являются основными, т.к. остальные виды можно свести к совокупности основных движений.

Поступательное движение твердого тела - это такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые перемещения и поэтому скорости и ускорения всех точек тела в один и тот же момент времени одинаковы.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, которая называется осью вращения.

Существуют три способа описания движения: векторный, координатный и “естественный”. Приведем определения кинематических величин для каждого способа описания.

Определения кинематических величин

Положение и перемещение материальной точки

При векторном способе описания положение материальной точки определяется радиусом-вектором r (t), проведенным от некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета к рассматриваемой точке. При координатном способе описания положение материальной точки определяется ее координатами x (t), y (t), z (t). При естественном способе описания положение точки задается с помощью криволинейной координаты s (t). Для этого на траектории указывается начало координат и положительное направление отсчета координаты s.

 

 

 

Вектор перемещения D r = r (t+ D t)- r (t). Перемещения по осямкоординат D x= x (t+ D t) - x (t),D y= y (t+ D t) - y (t),могут быть как положительными (точка перемещается по оси координат), так и отрицательными (точка перемещается против оси координат). При естественном способе описания рассматривается изменение криволинейной координаты D s = s (t+ D t) - s (t).

Скорость

Средней скоростью перемещения называется отношение вектора перемещения к тому промежутку времени, за который это перемещение произошло: . При координатном способе описания вводятся средние значения проекций скорости , , . Средней путевой скоростью называется отношение пути s к тому промежутку времени t, за который этот путь пройден: .

Мгновенная скорость - это скорость в данный момент времени. Устремив D t ® 0, получаем:

,

т.е. вектор скорости точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора r по времени t. Аналогично определяются проекции вектора скорости:

, .

Модуль вектора мгновенной скорости легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении . При естественном способе описаниямгновенная скорость равна производной от криволинейной координаты по времени:

.

Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Ускорение

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

При векторном способе описания среднее ускорение равно отношению изменения скорости к тому промежутку времени, за который это произошло это изменение:

При координатном способе описания средние значения проекций ускорения определяются следующими выражениями:

, .

Чтобы перейти к мгновенным значениям ускорения, следует устремить D t ® 0.

,

т.е. ускорение равно производной вектора скорости по времени. Аналогичными выражениями определяются проекции вектора ускорения:

, .

Модуль вектора мгновенного ускорения легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении .

Перейдем к естественному способу описания движения. Поскольку скорость может изменяться как по величине, так и по направлению, с каждым из этих изменений связана составляющая вектора полного ускорения.

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называется тангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна. Величина тангенциального ускорения равна производной от модуля вектора скорости по времени:

.

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории и равна

,

где R - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории:

Вектор полного ускорения

Его модуль легко найти по теореме Пифагора:

.

Кинематика вращательного движения