Применение метода выделения главной части к решению задачи

Данный метод способствует уменьшению требуемого числа опытов. Приближенное решение уравнения (1) выберем в виде, удобном для аналитических преобразований:

 

(16)

 

Введём новую перемеренную состояния ,

отсюда

 

,

.

 

Выполним в уравнении (1) замену переменной X на Z:

 

(17)

 

Получим новое уравнение:

 

, (18)

 

где , . (Учитывая, что A=0)

Оценка искомого математического ожидания определяется в виде (15), где первое слагаемое может быть найдено аналитически:

 

 

а второе слагаемое определяется по методу статистического моделирования на основе многократного решения полученного нового уравнения (18).

При удачном выборе функции дисперсия случайной величины оказывается существенно меньше, чем дисперсия что и приведёт к сокращению требуемого количества опытов.

Итак, по схеме итерационного алгоритма статистического моделирования, подробно рассмотренного выше, определим оценку математического ожидания величины Z.

 

Таблица 2 Результаты вычислений

№ итерации	mz	Dz	N треб.	Общее количество опытов
	-0.2082	0.0138
	-0.2052	0.0136
	-0.2056	0.0135
	-0.2056	0.0134

 

В результате, при статистическом моделировании на основе использованного выше алгоритма, получили следующие оценки:

 

, ,

 

Оценка математического ожидания по (3) равна:

 

 

Таким образом, при использовании описанного метода позволило обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой в раз. Программа, реализующая итерационный алгоритм, написана в среде MATLAB 6.5 [5]. Текст программы представлен в Приложении 2.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:

− определено математическое ожидание выходного сигнала неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени, которое при решении задачи разными методами составило:

· при решении аналитически ;

· при решении прямым методом статистического моделирования (необходимо провести 21377 опытов);

· при решении методом выделения главной части (необходимо провести 1209 опытов);

− снижена трудоемкость статистического эксперимента в 17.7 раза за счет выбора и проведения исследования упрощенной модели.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Емельянов В. Ю. Методы моделирования стохастических систем управления. Учебное пособие. СПб, 2004.

2. Ануфриев И. Е. Самоучитель Matlab 5.3/6. x. СПб: БХВ-Петербург, 2002. 736 с.

3. “Положение о курсовых проектах и курсовых работах на факультете информационных и управляющих систем (общие требования)”.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

unit Unit1;

 

interface

 

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs,StdCtrls, Buttons;

 

type

TForm1 = class(TForm)

Memo1: TMemo;

Memo2: TMemo;

Edit1: TEdit;

Button1: TButton;

Memo3: TMemo;

Memo4: TMemo;

Memo5: TMemo;

Memo6: TMemo;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

 

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

const

alfa=9;

h=0.001;

eps=0.01;

kk=1200;

 

var

Form1: TForm1;

 

implementation

 

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

Sx,Sx2,mx,Dx,g,a,x,Sx2n,Sxn,mxn,Dxn,aa,kkk,K:real;

i,j,ll:integer;

ntreb,nn,n,n1,n2:longint;

flag:boolean;

begin

Sx:=0;

Sx2:=0;

randomize;

nn:=400;

Memo1.Lines.Clear;

Memo2.Lines.Clear;

Memo3.Lines.Clear;

Memo4.Lines.Clear;

Memo5.Lines.Clear;

Memo6.Lines.Clear;

// Начальная серия опытов

for i:=1 to nn do

begin

g:=1;

a:=random*0.6+0.5;

k:=random*0.4+0.6;

x:=0;

for j:=1 to kk do x:=(a*x+1*k*a)*h+x;

Sx:=Sx+x;

Sx2:=Sx2+sqr(x);

end;

mx:=Sx/nn; // Вычисление оценок МО и Дисперсии

Dx:=Sx2/(nn-1)-sqr(mx);

ntreb:=round(alfa*Dx/sqr(eps)); // Оценка Требуемого количества опытов

Memo1.Lines.Add('Mx='+FloatToStr(mx));

Memo1.Lines.Add('Dx='+FloatToStr(Dx));

Memo5.Lines.Add('ntreb='+FloatToStr(ntreb));

Memo6.Lines.Add('Sx='+FloatToStr(Sx));

Memo6.Lines.Add('Sx2='+FloatToStr(Sx2));

Memo5.Lines.Add('nn='+FloatToStr(nn));

n1:=0;

flag:=true;

// Дополнительная серия опытов

randomize;

while nn<ntreb do

begin

n1:=ntreb-nn; // Объём дополнительной серии

edit1.text:=floattostr(n1);

if (n1>8500) then n1:=n1 div 2

else begin

if n1<7 then n1:=n1*2;end;

for i:=nn to n1+nn do

begin

G:=1;

a:=random*0.6+0.5;

k:=random*0.4+0.6;

x:=0;

for j:=1 to kk do x:=(a*x+1*K*a)*h+x;

Sx:=Sx+x;

Sx2:=Sx2+sqr(x);

end;

Memo2.Lines.Add('n1='+FloatToStr(n1));

mx:=(Sx)/(n1+nn); //

Dx:=(Sx2)/(n1+nn-1)-sqr(mx);

Memo3.Lines.Add('Sxn='+FloatToStr(Sx));

Memo3.Lines.Add('Sx2n='+FloatToStr(Sx2));

Memo2.Lines.Add('mx='+FloatToStr(mx));

Memo2.Lines.Add('Dx='+FloatToStr(Dx));

nn:=n1+nn;

ntreb:=round(alfa*Dx/sqr(eps)); //

Memo4.Lines.Add('nn='+FloatToStr(nn));

Memo4.Lines.Add('ntreb='+FloatToStr(ntreb));

Memo4.Lines.Add('************************');

 

end; end;

 

end.

Приложение 2

Функция a.m

function ret = g(t,x);

global A;

global G;

global a;

global k;

 

Y = (A + k * G)*(1+a*t*2)-k*G;

dY = a*k*2;

ret = k * a * G + a * x + a * Y - dY;

Скрипт-файл Main.m

clear all;

clc;

global A;

global G;

global a;

global k;

G = 1;

t = 1.2;

A = 0;

array = [500 700 900 1100];

n = 0;

index = 1;

disp('Итерация М.О. Дисперсия Треб. кол-во опытов Общее кол-во опытов');

ntr = array(1);

while (n < ntr && index < 5)

 

nn=array(index);

 

for i = (n+1):1:nn

k = unifrnd(0.6, 1.0);

a = unifrnd(0.5, 1.1);

 

[T,U] = ode23('g', t, 0);

tmp = U(size(U));

x(i) = tmp(1);

end;

 

Mx = sum(x) / nn;

Dx = sum(x.^ 2) / (nn - 1) - Mx ^ 2;

n = nn;

ntr = round(9 / 0.0001 * Dx);

d = [index Mx Dx ntr n];

fprintf('%5.0f %8.4f %8.4f %5.0f %5.0f\n',d);

index = index + 1;

 

end;