Правила знаходження диференціалу.

1._________________

 

2.____________________

 

3.____________________

 

4.___________________________.

 

________________________. Т. Форма диференціалу не залежить від того, чи є аргумент незалежною змінною або ф-цією.

Нехай__________-. Тоді диференціал цієї ф-ції записується у вигляді____________(1). Виконаємо заміну змінних______. Тоді ф-ція_____________- буде ф-цією від змінної__:_______________. Обчислюючи диференціал цієї ф-ціїї дістанемо:_______________________,

 

або_______________________________.

 

Вираз___________(2) є диференціалом ф-ції___,

 

оскільки____________________. Тому (2) можна

 

подати у вигляді_____________________. Маємо влстьивість диференціала, яка називається його інваріантністю: формула для знаходження диференціала_______________________ справджується в усіх випадках: як тоді, коли__ є незалежною змінною, так і тоді, коли__ є ф-цією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником_____ слід розуміти диференціал ф-ції____.

66. Похідна неявної ф-ції. Для знаходження похідної ф-ції___, заданої неявно, достатньо продиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи__ як ф-цію від____, а потім зі здобутого рівняння знайти похідну___. Похідна оберненої ф-ції. Т. якщо ф-ція______ монотонна й має в точці-___ відмінну від нуля похідну, то ф-ція, обернена до даної, подається у вигляді_________ і має похідну____________, обернену до похідної даної ф-

 

ції:_______________.

67. Похідні вищих порядків. Похідна_______ від ф-ції_________ називається похідною першого порядку і являє собою деяку нову ф-цію. Можливі випадки, коли ця ф-ція сама має похідну. Тоді похідна від похідної першого порядку___ називається похідною лругого порядку від ф-ції________ і позначається_____________________. Похідна від похідної другого порядку______, називається похідною третього порядку і позначається_______________. Диференціали вищих порядків. Озн. Другим диференціалом ф-ції________ називається вираз________. Позначення:____________________. Диференціал незалежної змінної______ не залежить від__ тому, диференціюючи__за___, слід розглядат_____ як величину сталу відносно_____. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:

_____________________ ______________________ ___________________________ ________________.

68. Виведемо так звану формулу Лейбніца, яка дає змогу обчислювати похідну___-го порядку від добутку двох ф-цій_____ та______. Для того щоб вивести цю формулу, знайдемо спочатку кілька похідних, а далі встановимо загальне правило:___________ _______________ __________________________________________

Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й полягає ось у чому: Вираз______ потрібно розкласти за формулою бінома Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для____та____ показниками порядку похідних, причому нульові степені___________, що входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими ф-ціями(тобто похідними нульового порядку):_____________________________________________________. Це є формула Лейбніца.

 

 

69. Озн. Ф-ція________ називається показниково-степеневою ф-цією. Прологарифмуємо рівняння_________________

 

_______________________

 

________________________. Продиференціюємо обидві частини останнього рівняння:

 

_____________________

 

______________________________________________

 

 

______________________________________________

 

______________________________________________

 

Правило диференціювання показниково-степеневої ф-ції: Щоб знайти похідну показниково-степеневої ф-ції, потрібно спочатку продиференціювати її як показникову, а потім як степеневу ф-цію. Результати додати.

 

 

70. Теорема Ферма. Нехай ф-ція________ визначена на проміжку_________ і в деякій точці С цього проміжку_______ набуває найбільшого або найменшого значення. Якщо в точці_______ існує похідна, то____________. Теорема Ролля. Нехай

 

задано ф-цію______, неперервну на відрізку______ і диференційовну на інтервалі______. Тоді

 

якщо____________, то всередині відрізка_________

 

знайдеться точка________________, така що___________. Теорема Лагранжа. (про скінченні прирости ф-ції). Нехай задано ф-цію______, неперервну на відрізку___________ і диференційовну

 

на інтервалі____________. Тоді знайдеться

 

точка________________, така що похідна_________-

 

ф-ції в цій точці_________ дорівнюватиме

 

відношенню___________:______________________.

Теорема Коші. (про кінцеві прирости двох ф-цій).

 

Нехай на відрізку_____ задано дві ф-ції_____і______.

 

Якщо ці ф-ції неперервні на відрізку_________ і

 

диференційовні на інтервалі________-,

 

причому___________ не перетворюється на нуль, то

 

на інтервалі___________ існує

 

точка________________, така

 

що_____________________.

 

 

71. Правило Лопіталя. Границя відношення нескінченно малих величин дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує у зазначеному щойно сенсі.

 

______________________________.

 

 

72. Формула Тейлора. Нехай ф-ція_____ має в __-околі точки____________ похідну. Тоді для будь-якої точки__ із цього околу знайдеться точка__, розміщена між точками__ і__, для якої справджується

 

рівність:__________________________, де ____ - __-й

 

многочлен Тейлора ф-ції___ у точці___.

73.

 

74. Умови зростання та спадання ф-ції на проміжку. (пос. стр. 74).

 

 

75. Екстремуми ф-ції. (пос. стр. 9, 75).

 

76. Опуклість ф-ції. Озн. Крива на проміжку називається випуклою, якщо всі точки кривої лежать вище будь-якої її дотичної на цьому проміжку.

77. Озн. Точка, яка відокремлює випуклу частину кривої від вгнутої, називається точкою перегину.

 

78. Асимптоти. (пос. стр. 10).

 

План дослідження ф-цій і побудови їхніх графіків.

1) Знайти область визначення ф-ції.

2) Встановити парність(непарність) і періодичність ф-ції.

3) Знайти точки розриву ф-ції та їхній характер.

4) Визначити точки перетину графіка ф-ції з осями координат.

5) Знайти точки екстремуму й обчислити значення ф-ції у цих точках.

6) Визначити інтервали зростання й спадання ф-ції.

7) Знайти точки пергину, інтервалу випуклості й вгнутості.

8) Знайти асимптоти.

9) Знайти граничні значення ф-ції, коли x прямує до граничних точок області визначення.

Графік ф-ції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

80. Задача про найбільше та найменше значення ф-ції на закритому проміжку. (Стр. 153 підр.)