Сучасна величина звичайної ренти

Під сучасною, або приведеною, величиною ренти розуміють суму всіх дисконтованих членів ренти на попередній момент. Сучасна величина еквівалентна у фінансовому значенні всім платежам, які охоплюються рентою. Цей показник знаходить широке застосування в розрахунках при погашенні довгострокових позичок, оцінці та порівнянні різного роду зобо­в’язань і надходжень, ефективності інвестицій, розрахунків по страхуванню. Сучасна величина ренти використовується при роз­робці компенсаційних або інших видів довгострокових угод, що передбачають взаємні зобов’язання сторін.

Знайдемо сучасну величину річної ренти, член якої дорівнює R і виплачується в кінці року, ставка відсотків і (відсотки нараховуються в кінці кожного періоду), строк ренти n років. Дисконтована величина першого платежу дорівнює R (1 + i)^–1, другого — R (1 + i)^–2, n -го платежу — R (1 + i)^{– n} . Цей ряд являє собою геометричну прогресію з першим членом R (1 + i)^–1 і знаменником (1 + i)^–1 з числом членів n. Сучасна величина річної ренти визначається як сума геометричної прогресії за такою формулою:

,

де А — сучасна величина ренти; a_n;i — коефіцієнт приведення ренти. Цей коефіцієнт показує, у скільки разів сучасна величина більша за її член. Графічно сучасну величину ренти можна представити таким чином (рис 13.2):

Рис. 13. 2. Розрахунок сучасної величини ренти

Приклад 5. Необхідно визначити суму, яку треба внести на рахунок у банк, який нараховує відсотки в кінці року за ставкою складних відсотків у розмірі 5 % річних, для того щоб виплачувати протягом 5 років наприкінці року додаткову пенсію в сумі 100 грн.

грн.

Річна рента з нарахуванням відсотків m разів на рік.

.

Сучасна величина р-термінової ренти (m = 1).

Якщо платежі здійснюються не один, а р разів на рік, а відсотки нараховуються один раз на рік, то коефіцієнт приведення має вигляд:

,

а сучасна величина ренти розраховується за формулою:

.

Загальний випадок знаходження сучасної величини ренти, коли відсотки нараховуються m разів, виплати відбуваються р -разів на рік, а :

.

Приклад 6. Необхідно визначити суму, потрібну для того, щоб мож­на було виплачувати кредиторові щоквартально 100 грн. протягом 5 ро­ків, якщо на ваш рахунок у банку відсотки нараховуються кожні півроку за складною ставкою відсотків 5 % річних.

Розв’язання: член ренти R = 100 · 4 = 400.

грн.

Між нарощеною сумою і сучасною величиною ренти існує взаємозв’язок. Сучасну величину ренти можна отримати шляхом дисконтування нарощеної суми, тобто . Нарощену суму можна також отримати за значенням сучасної величини, тобто S = A (1 + i) ⁿ.

Вічна рента — це послідовність необмеженого числа платежів, які сплачуються протягом нескінченої кількості років. Прикладом такої ренти є виплата дивідендів за акціями, окремі види платежів, внески до Пенсійного фонду.

Коефіцієнт приведення вічної ренти:

.

Формула сучасної величини вічної ренти має такий вигляд:

.

Приклад 7. Скільки коштує акція з щорічними дивідендами 40 грн., якщо відсоткова ставка, за якою дисконтуються подібні акції, дорівнює 8 %?

Розв’язання:

грн., тобто вартість даної акції 500 грн.

13.4. Визначення параметрів
фінансової ренти

Послідовність платежів у вигляді постійної звичайної ренти характеризується такими параметрами, як R, n, i. Для загального виду ренти необхідні ще параметри P i m. Перелічені параметри достатні для розрахунку основних узагальнюючих показників — майбутньої суми ренти та сучасної її величини. Однак при розробці контрактів або в деяких задачах фінансового аналізу виникають ситуації, коли відомі одна з двох узагальнених характеристик і неповний набір параметрів ренти. У таких випадках треба знайти недостатні параметри.

Визначення члена ренти

Часто з’являється необхідність у визначенні члена ренти. Така ситуація може виникнути, якщо необхідно визначити щорічні внески на рахунок у банку для того, щоб до кінця певного строку отримати визначену суму S, або якщо виникає потреба у визначенні щорічних виплат для погашення поточної заборгованості А тощо. Ці задачі розв’язуються шляхом визначення члена ренти R за іншими відомими параметрами: А — сучасна величина, S — нарощена величина; а_n;i — коефіцієнти приведення ренти; s _n;i — коефіцієнта нарощення ренти.

Якщо сума боргу визначена на якийсь момент у майбутньому і передбачається, що борг буде сплачено шляхом створення спеціального фонду на основі послідовних внесків протягом n років при нарахуванні на них відсотків за ставкою і, член ренти необхідно визначити на основі формул, які характеризують нарощену суму S:

.

Якщо поточний борг сплачується послідовними платежами, сума боргу дорівнює сучасній величині ренти, і член ренти визначається за такою формулою:

.

Приклад 8. У кінці п’ятирічного строку необхідно погасити заборгованість у сумі 10000 грн. шляхом створення фонду на депозитному рахунку в банку. Банк нараховує 10 % річних. Необхідно встановити величину рівних щорічних внесків для створення цього фонду.

Розв’язання:

a) грн.

З іншого боку, виникає проблема погашення поточного боргу в сумі 10 000 грн. шляхом щорічних виплат кредиту. Кредит було надано під 10 % річних на 5 років. Задача полягає у визначенні розміру щорічних виплат:

б) грн.

Визначення строку ренти

При розробці умов контрактів може виникнути задача визначення строку ренти за відомих інших параметрів. Розрахунок строку ренти здійснюється шляхом перетворення формул нарощеної або сучасної величини ренти.

Якщо рента річна і відсотки капіталізуються за річною ставкою і, то:

; ;

; .

Приклад 9. Сума інвестицій, які здійснюються за рахунок залучених коштів, дорівнює 10 млн грн. Передбачається, що віддача від них становитиме 1 млн грн. щорічно (отримуваних наприкінці року). За який строк окупляться інвестиції, якщо на борг нараховуються відсотки за ставкою 6 % річних?

Розв’язання: Припустимо, що придбано пакет акцій на 10 000 грн. і дивіденди виплачуватимуться у кінці року в розмірі 1000 грн. За який строк окупиться сума, що була витрачена на купівлю акцій, якщо її мож­на було покласти на рахунок у банк під 5 % річних? Окупність матиме місце тоді, коли сучасна величина дивідендів дорівнює сумі, що була витрачена для купівлі акцій.

року.

Таким чином, вкладення в акції окупляться через 14,2 року за умови, що дивіденди виплачуватимуться регулярно, і відсоткові ставки на фінансових ринках не змінюються.

Конверсія фінансових рент

Конверсією фінансових рент називається заміна потоку рентних платежів іншим платежем. У простому вигляді зміна умов ренти полягає в заміні ренти одночасним платежем. Також кілька рент можуть бути об’єднані в одну.

Якщо передбачається, що конверсія рент не повинна призводити до зміни фінансових наслідків для кожної сторони, то вона повинна відповідати принципу фінансової еквівалентності.

Серед різновидів конверсій можна виокремити такі: викуп ренти, відстрочка платежів, консолідація боргів.

Викуп ренти передбачає заміну одноразовим платежем усіх розподілених у часі платежів (наприклад, компенсація фонду, який створюється шляхом внесків або відрахувань). Згідно з принципом фінансової еквівалентності, викуп ренти — це виплата сучасної величини цієї ренти на даний момент.

Відстрочка платежів — це заміна одноразового платежу фінансовою рентою, тобто надання кредиту. Наприклад, у комерційному кредиті плата за відвантажену продукцію, як правило, розподіляється у часі у вигляді ренти. Для збереження принципу фінансової еквівалентності сучасну величину ренти прирівнюють до величини платежу, який замінюється (вартість відвантаженої продукції). Тоді за заданою сучасною величиною визначають розмір члена ренти та кількість платежів або термін ренти. У даному разі відстрочка платежу призведе до збільшення розміру заборгованості, але у межах, передбачених принципом фінансової еквівалентності.

Приклад 10. Вартість партії товарів 100 тис. грн., що сплачується протягом трьох років. Кредит надається під 10 % річних платежів, які вносяться кожні півроку. Покупцеві надана відстрочка на три місяці, при цьому відсотки за час відстрочки приєднуються до вартості товарів. Як здійснюватиметься погашення кредиту?

Розв’язання: Спочатку необхідно визначити вартість товарів на кінець відстрочки:

Ця сучасна величина повинна бути сплачена за три роки.

Консолідація ренти — це об’єднання кількох рент в одну. Принцип фінансової еквівалентності у даному разі передбачає виконання такої рівності:

,

де А — сучасна величина рент, які замінюються; A_q — сучасна величина q -ї ренти (q = 1, 2,.., k).

При об’єднанні рент можуть виникнути найрізноманітніші задачі, зокрема: а) визначення розміру члена об’єднаної ренти; б) визначення терміну об’єднаної ренти. В обох випадках повинні бути задані інші параметри рент.