Задача Коши для уравнения Даламбера в D’ ( R’). Функция Римана. Метод обобщенных функций Владимирова В.С.

В О П Р О С 2

Фундаментальные решения дифференциальных уравнений. Обобщенные и классические решения дифференциальных уравнений и связь между ними.

Решения неоднородных дифференциальных уравнений. Свойства свертки фундаментальных решений.

Фундаментальные решения линейного дифференциального уравнения с обыкновенными производными. Решения неоднородных уравнений.

Уравнения Лапласа и Пуассона. Уравнения для потенциалов гравитационного и электростатического полей. Ньютоновские и кулоновские потенциалы.

Фундаментальные и обобщенные решения уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=2. и их свойства.

6. Формулы Гаусса и Грина для решений уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=2.

Определение. Уравнение

(1)

называется эллиптическим, если , .

В этом случае его каноническое выражение имеет вид:

Уравнение Лапласа-Пуассона имеет вид:

-эллиптическое уравнение.

Если -уравнение Лапласа, -Уравнение Пуассона.

Определение. (2)

-решение, где , -фундаментальное решение

(3)

N=2: (плоскость)

Вторая формула Грина в

Классическая формула Грина

7.Фундаментальные и обобщенные решения уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=3. и их свойства.

мы знаем, что если имеется объемная и поверхностная плотность заряда, то потенциал их может бытьзаписан в виде:

(4.1)

Но такой путь не всегда целесообразен, т.к.:

а) иногда приводит к сложным вычислениям;

б) требует анализа, в случае если заряды не расположены в конечной области пространства и нормировки потенциала .

В этих случаях удобнее свести задачу о нахождении к решению дифференциального уравнения. Найдем это уравнение:

, где , т.е.

(4.2) - уравнение Пуассона, где

- оператор Лапласа.

В области пространства, где нет зарядов

(4.3)- уравнение Лапласа.

Решения уравнения (4.2) должны удовлетворять требованиям непрерывности и конечности .

Преимущество нахождения с помощью уравнения (4.2) заключаются в большей общности этого метода и его широкая применимость, т.к. уравнение Пуассона не предполагает определенной нормировки и отсутствия зарядов на бесконечности.

Если же все заряды сосредоточены в конечной области пространства , то решением уравнения Пуассона будет:

, что

следует из однозначности решения задач электростатики.

Б2. 8. Формулы Гаусса и Грина для решений уравнения Лапласа-Пуассона в Полнота и R³.

9.Уравнение теплопроводности. Закон Фурье. Фундаментальные решения уравнения теплопроводности и их свойства.

10.Обобщенные и классические решения уравнения теплопроводности в и . Тепловые потенциалы

11. Задача Коши для уравнения теплопроводности в пространствах разной размерности. Метод обобщенных функций Владимирова В.С.

12.Функционально-инвариантные решения Смирнова-Соболева волнового уравнения в . Гармоническая волна и ее характеристики: волновой вектор, длина волны, частота, период, фаза.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующее ей колебание частиц среды является гармоническим.

Покажем зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени.

– расстояние до источника

– смещение

Длина волны – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе.

, где – скорость волны

k – волновое число

13.Ударные волны как обобщенные решения волнового уравнения, волновые фронты. Условия Адамара на фронтах ударных волн.

14.Фундаментальные решения волнового уравнения и их свойства в пространствах , N=1. Запаздывающие потенциалы.

15.Фундаментальные решения волнового уравнения и их свойства в пространствах , N=2. Запаздывающие потенциалы.

Задача Коши для уравнения Даламбера в D’ (R’). Функция Римана. Метод обобщенных функций Владимирова В.С.

Задача: решить задачу Коши (уравнение математической физики, уравнение в частных производных гиперболического типа)