Сведение матричной игры к модели линейного программирования

В рассмотренной выше задаче игра задавалась платежной матрицей, которую сводили к модели линейного программиро­вания. И, наоборот, задача линейного программирования мо­жет быть сведена к матричной игре.

Если задача линейного программирования имеет вид

при ограничениях:

то матричная игра определяется платежной матрицей размера (т + п + 1) вида где А — матрица коэффициентов при неизвестных системы ограничений задачи линейного программирования; В — мат­рица свободных членов; С — матрица коэффициентов при не­известных целевой функции; А^t, B^t, C^t — транспонированные матрицы А, B, С.

Если задача линейного программирования имеет вид

при ограничениях:

то матричная игра определяется платежной матрицей размера (т + п + 1) вида

 

Пример 4. Построить матричную игру, заданную задачей ли­нейного программирования

при ограничениях:

Решение. Обозначим:

Транспонированные матрицы:

Ответ. Игру, определяемую данной задачей линейного программирования, можно записать матрицей

31.5. Игры с "природой"

В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направле­ны на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша).

В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется не­определенность, вызванная отсутствием информации об усло­виях, в которых осуществляется действие (погода, покупатель­ский спрос и т.д.).

Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой.

Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей (a_ij)_mxn.

Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии.

1. Критерий Вальде. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она достигается из условия max min a_ij и совпадает с нижней ценой игры.

Критерий является песси­мистическим, считается, что природа будет действовать наи­худшим для человека образом.

2. Критерий максимума. Он выбирается из условия max max a_ij

Критерий является оптимистическим, считается, что при­рода будет наиболее благоприятна для человека.

3. Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

Max{α max a_ij + (1-α) max a_ij}? где α — степень оптимизма — изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной по­зиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наи­лучшего для человека поведения природы.

При α = 1 критерий превращается в критерий Вальде, при α = 0 — в критерий максимума.

На α оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застрахо­ваться, тем а ближе к единице.

4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе та­кой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести.

Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элемент матрицы рисков (r_ij) находится по формуле r_ij= max a_ij- a_ij, где max а_ij — максимальный элемент в столбце исходной мат­рицы.

Оптимальная стратегия находится из выражения