Угол между векторами в ортонормированном базисе

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Свойство первое следует из определения скалярного произведения: .

Второе и третье свойства следуют из линейных свойств проекции вектора на ось (направление): (эти свойства проекции доказываются при рассмотрении вектора в ортонормированном базисе). Используя линейные свойства проекции, получим:

СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ

Скалярным квадратом называется скалярное произведение и обозначается символом ; по определению .

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

Из определения следует .

 

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Теорема. Векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда .

Доказательство необходимости. Пусть , тогда .

Доказательство достаточности. Пусть или , тогда, либо хотя бы один из множителей есть нулевой вектор и , так как направление нулевого вектора неопределенно, либо тогда .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Теорема. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат множителей.

Доказательство. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис и векторы и имеют в этом базисе координаты соответственно и , т.е. . Тогда, используя свойства скалярного произведения, будем иметь

Так как , то окончательно получим:

МОДУЛЬ ВЕКТОРА В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Из формулы для скалярного произведения при получим

 

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

.

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ В

ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Если , то необходимое и достаточное условие ортогональности запишется в виде

 

НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА

Определение. Направляющими косинусами вектора в заданном базисе называются косинусы углов между вектором и базисными векторами.

Пусть – базисные векторы ортонормированного базиса и – углы между вектором и векторами соответственно.

Направляющими косинусами вектора будут . Если , то из , так как . Аналогично имеем

.

Замечание. Для любого вектора имеем

 

ЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ

В ортонормированном базисе координаты вектора равны проекциям этого вектора на направления соответствующих базисных векторов.

Действительно, если ,то , но , следовательно, . Аналогично .

Если , то из суммы векторов и произведения вектора на число следует, что проекция вектора обладает свойствами линейности.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение скалярного произведения векторов.

2. Выведите условие ортогональности двух векторов.

3. Докажите формулу скалярного произведения векторов в ортогональном базисе.

4. Напишите формулу модуля вектора в ортонормированном базисе.

5. Выведите условие ортогональности двух векторов в ортогональном базисе.

 

 

§6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторным произведением вектора на вектор называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ;

2. и ;

3. Упорядоченная тройка векторов образует правую тройку (с конца вектора поворот на наименьший угол от первого сомножителя ко второму виден совершающимся против часовой стрелки (рис. 14)).

Векторное произведение на обозначается символом или .

D C   A B Рис. 15.

Рис. 14.

Замечания. 1. Модуль численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 15). Действительно, площадь параллелограмма ABCD равна

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда . Необходимость и достаточность этого условия следует из определения векторного произведения.

 

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. (антикоммутативность);

2. (ассоциативность относительно числового множителя);

3. (дистрибутивность относительно суммы векторов).

Это свойство примем без доказательства.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Пусть , тогда из . Векторы и ортогональны плоскости, в которой лежат векторы и , следовательно, .

По определению с конца вектора поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки, а с конца вектора поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки, а это возможно при .

Следовательно, имеем, что и , т. е. или .

Рис. 16.

2. Пусть . По определению векторного произведения имеем ; при (рис.16), при имеем , откуда , т.е. . Наконец, , где , . Так как или , то в любом случае , следовательно, . Итак, получим, что и , т. е. или .