Управление и многоотраслевая экономика в моделях В. Леонтьева как математическая интерпретация управления

МОДЕЛЬ В. ЛЕОНТЬЕВА

МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ И ЕЁ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Методические указания

к выполнению лабораторной работы

По дисциплине

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

ЕТИ. ЭММиМ. 02

Егорьевск 2012

Составитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент Т.В. Бармакова

Данные указания предназначены для студентов, обучающихся по специальности 080502 «Экономика и управление на предприятиях (в машиностроении). В методических указаниях приведено содержание и изложен порядок выполнения лабораторной работы № 1 по теме «Модели В Леонтьева многоотраслевой экономики и её математический аппарат».

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой производственного менеджмента

Протокол №______________от___________________

Зав. кафедрой ________________А.Т. Замлелая

Методические указания рассмотрены и одобрены методическим советом института

Протокол №______________от___________________

Председатель совета_______________ А.Д Семенов.

Лабораторная работа № 2

«Модель В. Леонтьевамногоотраслевой экономики и её математический аппарат»

Цель работы: Моделировать многоотраслевую экономику, используя схемы В. Леонтьева с использованием математического аппарата (теории матриц)

Теоретические сведения.

УПРАВЛЕНИЕ И МНОГООТРАСЛЕВАЯ ЭКОНОМИКА В МОДЕЛЯХ В. ЛЕОНТЬЕВА КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ

Если брать за основу известную фразу В.И. Ленина о том, что «управление – это концентрированное выражение политики, политика - это концентрированное выражение экономики», то экономика - это прикладное выражение математики с использованием многогранности её свойств, закономерностей и функциональных характеристик.

Управление как твид человеческой деятельности – это макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства, требующая устойчивого баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой - потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая и многофункциональная задача расчёта связи между отраслями через выпуск и потребление продукции различного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного американского экономиста В.В. Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929 - 1932 гг. Построение моделей этой работы основано на использовании алгебры матриц и матричного анализа. За вклад в разработку математических моделей В.В. Леонтьеву была присуждена Нобелевская премия.

Модель многоотраслевой экономики была разработана в 1936 году американским экономистом (выходцем из царской России) Василием Леонтьевым.

Применение модели В. Леонтьева представляется целесообразной в макроэкономике и связана с ведением многоотраслевого хозяйства. Целью построения данной модели является расчёт объёма производства каждой из п отраслей производства, который бы удовлетворял все потребности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает и как производитель продукции, и как потребитель продукции, произведённой как в этой же отрасли, так и в других отраслях производства.

Для простоты условимся полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный (индивидуальный) продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление).Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени; в ряде случаев такой единицей служит год. Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который, при известной матрице прямых затрат А, обеспечивает заданный вектор конечного продукта.

Введём следующие обозначения:

- общий объём продукции i - й отрасли (её валовой выпуск);

- объём продукции i - й отрасли, потребляемый j- й отраслью при производстве объёма продукции ;

- объём продукции i - й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления.

К нему относятся личные потребления граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т.д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск / - й отрасли должен быть равным сумме объёмов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид:

где a_tj - коэффициенты прямых затрат, на основании которых строится матрица прямых затрат А.

Приведём критерии продуктивности матрицы А, используя которые можно решать целый ряд задач экономики:

1. Матрица А является продуктивной тогда и только тогда, когда матрица существует и её элементы неотрицательны.

2. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому её столбцу (строке) не превосходит единицы:

Используя указанные критерии продуктивности, можно рассматривать очень широкий спектр задач управления в целом и экономических, в частности.

Представляется целесообразным рассмотреть следующую задачу управления, в частности, модель Леонтьева.

Задача 1.1.

Исследовать, продуктивна ли модель В. Леонтьева. Найти вектор конечного продукта для нового вектора валового выпуска . Найти вектор валового выпуска для нового вектора конечного продукта В таблице приведены данные об использовании баланса за отчётный период (в условных денежных единицах):

ТАБЛИЦА 1.1.

ЗНАЧЕНИЯ

Для решения поставленной креативной задачи управления (экономической) используем следующие соотношения:

Таким образом, получена матрица прямых затрат А. Необходимо проверить критерий продуктивности модели Леонтьева:

Следовательно, модель Леонтьева - продуктивна.

Необходимо найти матрицу полных затрат S; предварительно находим матрицу (Е - А):

где

- алгебраические дополнения, на основании которых строится обратная матрица Sполных затрат.

Проверяем правильность нахождения обратной матрицы:

Если матрица М = (Е – А) является невырожденной, т.е. , тогда матрица нового вектора валового выпуска конечного продукта Y равна:

Далее находим вектор конечного продукта:

Таким образом, найден новый вектор конечного продукта данного производства.

Задача 1.2.

В таблице 1.2. приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями промышленности. Найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить, является ли она продуктивной в соответствии с приведёнными выше критериями.

ТАБЛИЦА 1.2.

№ п\п ОТРАСЛЬ ПОТРЕБЛЕНИЕ КОНЕЧНЫЙ ПРОДУКТ ВАЛОВЫЙ ВЫПУСК (денеж. ед.)

Станкостроение

Энергетика

Машиностроение

Нефтедобыча

Добыча железных руд

Для решения этой модельной задачи составляем, прежде всего, на основании данных таблицы, матрицы вида:

Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвёртом столбцах больше единицы. Следовательно, условия критерия продуктивности Леонтьева не выполняются, поэтому и матрица А не является продуктивной. Экономическая причина этой непродуктивности заключается в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слишком велико в соотношении с их валовыми выпусками.

Задача 1.3.

В таблице 1.3. приведены данные баланса трёх отраслей промышленности за некоторый период времени. Необходимо построить математическую модель и найти объём валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отрасли увеличивать соответственно до 60, 70, и 30 у.е.

ТАБЛИЦА 1.3.

№ ОТРАСЛЬ ПОТРЕБЛЕНИЕ КОНЕЧНЫЙ ВАЛОВОЙ

п\п ПРОДУКТ ВЫПУСК

1. Добыча и переработка углеводородов

Энергетика

Машиностроение

Для решения поставленной задачи выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат, используя данные таблицы:

Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид:

Требуется найти новый вектор валового выпуска , удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменится. В таком случае компоненты неизвестного вектора определяются из системы уравнений, при заданных значениях принимающая вид:

Решая матричное уравнение, можно записать:

В свою очередь, матрица (Е - А) имеет вид:

Далее решаем записанную выше систему линейных уравнений методом Гаусса, в результате чего получаем новый вектор как решение системы уравнений баланса:

Следовательно, для того, чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,2 %, уровень энергетики – на 35,8 %; выпуск продукции машиностроения – на 85 % по сравнению с исходными величинами, указанными в таблице.

Управление как вид человеческой деятельности затрагивает и международную торговлю. Рассмотрим несколько конкретных моментов.

Международная торговля - это совокупность торговых связей, внешнеторговых отношений всех стран, торгующих друг с другом; это процесс купли и продажи, осуществляемый между покупателями, продавцами и посредниками в разных странах.

Международная торговля представляет собой сложнейший процесс, сопровождается такими явлениями, как международное движение капитала, миграция рабочей силы, зарождением международной валютной системы, но иногда - и «утечкой мозгов», международной экономической интеграцией созданием системы золотовалютного стандарта.

В силу сказанного представляется целесообразным построение математических моделей, позволяющих производить необходимые расчёты, а также прогнозировать возможное протекание торгово-финансовых операций.

Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Допускаем, что бюджеты п стран, которые мы условно обозначим расходуются на покупку товаров. Будемрассматривать линейную модель обмена, или, как её ещё называют, модель международной торговли.

Пусть - доля бюджета , которуюj-я страна тратит на закупку товаров у i — й страны. Введём матрицу коэффициентов а_1} вида:

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне её (можно это интерпретировать как торговый бюджет), то справедливо соотношение:

При выполнении этого условия матрица, сумма элементов любого столбца которой равна единице, называется структурной матрицей торговли. Тогда для любой i- й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выразится формулой:

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны её бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. , или:

Введём вектор бюджета , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны.

Представляется целесообразным рассмотреть модельную задачу управления – определение бюджетов стран при бездефицитной торговле.

Задача 2.1.

Структурная матрица торговли четырёх стран имеет вид:

Необходимо построить математическую модель управления торговлей и найти бюджет этих стран, удовлетворяющее сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджета задана:

Для решения этой модельной задачи управления необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению заданной структурной матрицы А, т.е. решить, таким образом, матричное уравне6ие:

Проверяем ранг матрицы:

Поскольку ранг этой системы равен трём, то одна из неизвестных величин является свободной переменной, т.е. представляется в виде линейной комбинации остальных переменных. Решая эту систему методом Гаусса, находим координаты собственного вектора :

Подставив найденные значения в заданную систему бюджетов, находим величину с: с = 1210. Теперь легко получить искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных единицах):

Легко сделать проверку полученных результатов:

1400 + 1460 + 2200 + 1210 = 6270 {у.е),

т.е. денежная величина распределена верно.

Порядок выполнения работы

2.1 Нахождение методом матричных уравнений решения системы линейных алгебраических уравнений.

1. Запустить программу Matlab

2. Установить режим автоматических вычислений

3. Присвоить переменной ORIGIN значение, равное 1

4. Ввести матрицу системы и матрицу - столбец правых частей.

5. Сформировать расширенную матрицу системы.

6. Привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

7. Сформировать столбец решения системы.

8. Проверить правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения.

2.2.Исследовать однородную систему линейных алгебраических уравнений:

1. Установить режим автоматических вычислений.

2. Ввести матрицу системы и расширенную матрицу системы.

3. Вычислить ранг основной матрицы и ранг расширенной системы.

4. Сформулировать и записать в рабочем документе соответствующий вывод.

5. Если система совместна, привести расширенную матрицу этой системы к ступенчатому

виду.

6. Определить базисные и свободные элементы.

7. Записать эквивалентную систему и разрешить ее относительно базисных переменных.

8. Записать общее решение системы.

9. Найти два различных частных решения.

3. Содержание отчета:

3.1. Наименование работы.

3.2. Цель работы.

3.3. Решение данной системы методом матричных уравнений (Приложение 1)

3.4. Решение данной системы методом простых итераций. (Приложение 1)

3.5. Исследование данной неоднородной системы. (Приложение 2)

Контрольные вопросы

1. В чём состоит модель В. Леонтьева многоотраслевой экономики?

2. В чём состоит метод решения матричных уравнений?

3. Как находится новый вектор валового выпуска?

4. Как строится математическая модель управления торговлей

5. Как находится бюджет нескольких стран, удовлетворяющий сбалансированной бездефицитной торговле?

6. Как находятся векторы конечного потребления и валового выпуска, а также матрица коэффициентов прямых затрат?

7. Как определить, является ли матрица продуктивной в соответствии с приведёнными выше критериями.

4. Литература:

1. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике. Вита-Пресс, М.,1996

2. Гаврилов Г.П, Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. Наука; М., 1977

Приложение 1.

1. Убедиться, что модель В. Леонтьева продуктивна. Найти вектор конечного продукта для нового вектора валового выпуска .

Найти вектор валового выпуска для нового вектора конечного продукта

Дана таблица

ЗНАЧЕНИЯ

2. Убедиться, что модель В. Леонтьева продуктивна. Найти вектор конечногопродук-

та для нового вектора валового выпуска .

Найти вектор валового выпуска для нового вектора конечного продукта

Дана таблица

ЗНАЧЕНИЯ

3. Убедиться, что модель В. Леонтьева продуктивна. Найти вектор конечного продукта для нового вектора валового выпуска .

Найти вектор валового выпуска для нового вектора конечного продукта

Дана таблица

ЗНАЧЕНИЯ