Побудова картин поля хвиль та у циліндричному хвилеводі.

Побудову будемо здійснювати за наближеною методикою, наведеною у підрозділі 1.9. Нагадаємо попередньо, що перший індекс m вказує на кількість варіацій поля вздовж координатної лінії , яка у використаній системі координат є колом. Другий індекс n, очевидно, визначає кількість варіацій поля вздовж координати r (вздовж радіусу поперечного перетину хвилеводу). Зазначимо, що в прямокутному хвилеводі кількість варіацій поля завжди збігається з кількістю напівхвиль. У циліндричному хвилеводі варіація поля може збігатися як з напівхвильою, так і з чвертьхвильою. Все залежить від структури поля конкретної хвилі.

Розпочнемо побудову з хвиль та , у яких відповідно немає варіацій (змін поля) складової та складової. Судячи по рівняннях (1.10.14) та (1.10.22) в циліндричному хвилеводі жодна з хвиль не можуть мати нульовим другий індекс, тобто хвилі та існувати не можуть.

 

Рисунок 1.11.1

 

 

Рисунок 1.11.2

 

Хвиля не має варіацій вздовж координати (рис.1.11.1) тобто в поперечному перетині силові лінії магнітного поля є концентричними колами. Вздовж радіусу мається одна варіація , яка (рис.1.11.3) збігається з чвертьхвильою залежності . Хвиля також не має варіації вздовж координати , силові лінії електричного поля теж утворюють концентричні кола. Але вздовж радіусу вкладається напівхвиля залежності , як видно на рис.1.11.2.

 

Рисунок 1.11.3

 

хвиля має по одній варіації вздовж координати та . Як бачимо, вздовж радіусу вектора Е має максимум при і дорівнює нулю при , варіація збігається з чвертьхвильою. Вздовж координатної лінії цей самий вектор (при зміненні від ) має максимум при і мінімум на обох кінцях цього інтервалу, варіація збігається з напівхвильою.

Судячи по формулах (1.10.16), (1.10.24) та таблицях 1.10.1, 1.10.2, найдовшу критичну довжину хвилі має хвиля типу :

 

,

 

вона і є основною модою у круглому циліндричному хвилеводі.

Серед хвиль електричного типу найбільшу довжину хвилі, має хвиля :

.

 

Коаксіальний хвилевід

Круглий коаксіальний хвилевід (або просто коаксіальний хвилевід) будемо розглядати у циліндричній системі координат (рис.1.12.1)

 

Рисунок 1.12.1

 

Такий хвилевід є двопровідною лінією передачі електромагнітної енергії. Два циліндричних провідники, зовнішній радіусом R і внутрішній - r мають спільну вісь (Ко – спільна, аксіс - вісь).

Ці два провідники розділені діелектриком без втрат з параметрами . У такому хвилеводі можуть поширюватись як хвилі типу Т (поперечні), так і хвилі Е та Н типів.

Поширення Е та Н хвиль відбувається шляхом багатократного відбиття поля від внутрішньої поверхні зовнішнього провідника (труби) й зовнішньої поверхні внутрішнього провідника (стрижня), аналогічно тому як це відбувається у прямокутному чи круглому циліндричному хвилеводах.

Оскільки коаксіальний хвилевід має цілий ряд корисних особливостей саме при поширенні у ньому хвилі Т типу, у подальшому зупинимося саме на цьому випадку.

 

Хвилі Т типу.

Через те, що у хвилях типу Т відсутні повздовжні складові поля , вирази (1.4.11) – (1.4.14) перепишуться таким чином:

; ; ; .

Оскільки усі ці чотири складові не можуть дорівнювати нулю, витікає, що поперечне хвильове число , а критична довжина хвилі такого поля

.

Це означає, що по коаксіальному хвилеводу може поширюватися хвиля будь – якої низької частоти, включаючи постійний струм. В усіх цих випадках структура поля буде однією і тією ж самою у поперечному перетині.

 

 

 

Рисунок 1.12.1

 

Отже, хвилі Т типу у круглому коаксіальному хвилеводі мають дві складових поля: та .

Оскільки , то дисперсія у такому хвилеводі буде відсутня, згідно з формулою (1.5.2)

 

,

 

де - довжина хвилі генератора, виміряна у вільному просторі (вакуумі). Сухе повітря Земної атмосфери має і , а тому у коаксіальному хвилеводі, заповненому таким повітрям, .

Повернувшись до (1.4.11) – (1.4.14), бачимо, що для хвилі Т типу цими виразами скористатися не можливо. А тому для визначення складових поля Т хвилі у коаксіальному хвилеводі звернемося до 1-го рівняння Максвелла, записаного для комплексних амплітуд в інтегральній формі:

 

(1.12.2)

 

Під струмом у даному випадку слід розуміти електричний струм, який протікає по центральному провіднику хвилеводу. Електромагнітна Т хвиля поширюється вздовж осі хвилеводу зі швидкістю світла у середовищі, що заповнює хвилевід. З такою самою швидкістю має поширюватись і електричний струм вздовж хвилеводу. Вважаючи втрати у хвилеводі відсутніми, стала поширення к дорівнює коефіцієнту фази . Змінення фази вздовж осі підпорядковане закону . Отже, струм, який протікає вздовж хвилеводу:

 

(1.12.3)

 

Цей струм збуджує вихрове магнітне поле навколо центрального провідника з напруженістю . Підставивши (1.12.3) у вираз (1.12.2) отримаємо:

 

. (1.12.4)

 

Або, оскільки і є векторами спрямованими в один бік, . Довжина елементарної дуги контура L дорівнює:

 

.

 

З урахуванням цих міркувань вираз (1.12.4) можна переписати таким чином:

 

.

 

Як бачимо з рис.1.12.1, магнітне поле не має варіацій (не змінюється) вздовж координати , то можна винести за знак інтегрування, і тоді:

 

звідки . (1.12.5)

 

Вираз (1.12.5) визначає магнітну складову електромагнітного поля у коаксіальному хвилеводі хвилі Т типу.

Електричну складову поля визначимо скориставшись першим рівнянням Максвелла при відсутності втрат, записаним у диференціальній формі:

звідки . (1.12.6)

 

Скориставшись виразом для у циліндричній системі координат, запишемо:

 

 

Оскільки , останній вираз перепишеться так:

 

(1.12.7)

 

Відношення , пам’таючи що при відсутності втрат , дорівнюватиме:

 

,

 

де, нагадаємо, - хвильовий опір середовища, яке заповнює хвилевід.

З виразу (1.12.7) випливає, що у поля хвилі Т типу у коаксіальному хвилеводі є лише одна радіальна складова електричного поля:

 

, де . (1.12.8)

 

Для практики має велике значення хвильовий опір круглого коаксіального хвилеводу з хвильою Т типу. Під цим опором будемо розуміти відношення комплексної амплітуди напруги до комплексної амплітуди струму у довільному перетині коаксіальної лінії передачі.

Оскільки є напругою між зовнішнім провідником (радіусом R) та внутрішнім провідником (радіусом r), знаходимо її як інтеграл у межах від :

 

.

 

Тоді хвильовий опір

 

, або . (1.12.9)

 

Якщо заповненням хвилеводу є сухе атмосферне повітря , то вираз (1.12.9) перепишеться так:

 

.

 

На практиці широко використовуються гнучкі круглі коаксіальні хвилеводи, які називаються коаксіальними кабелями. Ці кабелі випускаються промисловістю і мають хвильові опори: 50, 75, 100, 150…Ом. У побуті ми користуємося кабелями марки РК75 (75 Ом), наприклад, при з’єднанні приймальної антени з телевізором.

Вони представляють собою одно – (багато) жильний внутрішній циліндричний провідник і циліндричну «плетенку» з тонкого мідного дроту (зовнішній провідник, або екран), розділені високочастотним полівініловим, наприклад, діелектриком, який дозволяє кабель перегинати, що створює зручності при його використанні. Розрахувати його хвильовий опір можна за формулою (1.12.9), поклавши (немагнітний діелектрик) та :

 

,

 

де - відносна діелектрична проникність діелектрика.

 

Діелектричний хвилевід

За приклад такого хвилеводу візьмемо нескінченно - довгий, круглий циліндричний стрижень радіусом R, виготовлений з діелектрика з параметрами ; , і, який знаходиться у необмеженому середовищі з параметрами (на практиці це сухе повітря). Аналіз будемо проводити у циліндричній системі координат (рис.1.13.1)

 

Рисунок 1.13.1

 

Вирази для повздовжних складових та повинні задовольняти рівнянням Гельмгольця для полів які в середині стрижня, так і у оточуючому його середовищі. Для поля в середині стрижня такими рівняннями є:

(1.13.1)

(1.13.2)

Де поперечне хвильове число (1.13.3)

Для поля у оточуючому середовищі:

(1.13.4)

(1.13.5)

Де поперечне хвильове число (1.13.6)

Загальними розв’язками рівнянь (1.13.1) та (1.13.2) є функції, які збігаються за конструкціями з функціями (1.10.9) та (1.10.19) а саме:

(1.13.7)

та (1.13.8)

Пока циліндром, де структура поля відповідає структурі поверхневої хвилі, амплітуди полів мають зменшуватись експоненціально у напрямку від бічної поверхні стрижня. Цій вимозі задовольняють функції Ханкеля другого роду від чисто уявного аргументу , .

Тому розв’язки рівнянь (1.13.3) та (1.13.4) слід записати у такому вигляді:

(1.13.9)

(1.13.10)

Поперечні складові електричного і магнітного полів визначимо підстановкою (1.13.5) - (1.13.8) в співвідношення (1.4.11) – (1.4.14); у тілі діелектричного стрижня:

(1.13.11)

(1.13.12)

(1.13.13)

(1.13.14)

поза діелектриком:

(1.13.15)

(1.13.16)

(1.13.17)

(1.13.18)

На межі розділу двох середовищ тангенціальні складові електричного і магнітного полів мають бути неперервними, чому відповідатиме запис:

(1.13.19)

Якщо підставити вирази (1.13.7) – (1.13.10) та (1.13.12), (1.13.13), (1.13.16), (1.13.17) в систему (1.13.19); замість та - вирази (1.13.3)та (1.13.6) відповідно, отримаємо трансцендентне рівняння відносно повздовжнього хвильового числа . Розв’язавши його чисельним чи графічним способом знайдемо і вираз для фазової швидкості у діелектричному хвилеводі. Детальний аналіз проведено в книжці: Айзенберг Г.З. Антенны ультракоротких волн. – М.: Связьиздат, 1957.

Наведемо лише кінцеві результати цього аналізу

- у діелектричному хвилеводі може існувати нескінченно велика кількість типів хвиль, які матимуть різний характер змінення поля по координатах та ;

- у діелектричному хвилеводі не можуть окремо існувати Е та Н хвилі за винятком хвиль типу та , які можуть існувати окремо одні без одних;

- в діелектричному хвилеводі має місце дисперсія;

- основною модою у діелектричному хвилеводі є хвиля типу , критична довжина хвилі якої нескінченно велика, а отже, може поширюватися у хвилеводі на будь – якій частоті генератора;

- в діелектричному хвилеводі фазова швидкість хвиль є більшою швидкості у необмеженому середовищі, яке має такі самі параметри, як і діелектрик хвилеводу, але меншою швидкості у середовищі, яке оточує хвилевід;

- енергія хвиль поширюється всередині і поза діелектриком (друга є поверхневою хвильою, амплітуда якої за експонентою згасає у напрямку від бічної поверхні циліндричного діелектрика).

- Чим сильніша нерівність , тим більша частина енергії існує всередині стрижня;

- для усіх хвиль окрім основної при наближенні довжини хвилі до критичної, доля енергії, яка поширюється в діелектрику, зменшується;

- для основної моди доля енергії, яка поширюється у діелектрику різко зменшується до нуля за умови, що відношення .

 

Рисунок 1.13.2

 

На рис.1.13.2 показана картина поля хвилі типу у круглому діелектричному стрижні.

Рисунок 1.13.3

 

На рис.1.13.3 показані картини полів хвилі для випадків, коли відносна діелектрична проникність циліндричного стрижня: (а) та (б).

 

Рисунок 1.13.4

 

Збудити хвилю у діелектричному хвилеводі можна плавно «передавши» її від прямокутного хвилеводу до діелектричного стрижня прямокутного перетину (рис.1.13.4а), або від круглого хвилеводу до циліндричного діелектричного стрижня (рис.1.13.4б).

 

Світловоди

Аналіз діелектричних хвилеводів показує, що при близьких по значенню показників заломлення середовищ, які утворюють хвилевід, його радіус може бути набагато більшим довжини хвилі у вільному просторі при збереженні одномодовою чи близького до нього режиму роботи хвилеводу. Ця обставина використовується при створенні діелектричних хвилеводів оптичного діапазону – світловодів.

Найбільше поширення набули плівкові та волоконні світловоди.

 

 

Рисунок 1.14.1

 

Основу плівкового світловоду складає, плівка вирощена на діелектричній основі або сформована в ній методами інтегральної технології (рис.1.14.1а). показник заломлення основи має бути меншим чим плівки . Такі хвилеводи використовуються для передавання світла на невеликі відстані – у межах інтегральної схеми оптичного діапазону.

Волоконний оптичний діелектричний хвилевід (світловод) складається з серцевини (керна) і оболонки криглих перетинів. (рис.1.14.1б). Керн і оболонка виконані із спеціального скла. Вони відрізняються коефіцієнтами заломлення і є звареними між собою. На зовнішню поверхню оболонки наноситься покриття, яке поглинає світло. Жгути таких волокон (оптичні кабелі) застосовуються для передавання зображень, а також інформації на великі відстані.

При передачі зображення діаметр керна складає 10…20 (мкм), діаметр оболонки – 50 (мкм), . При довжині хвилі випромінювання (нм) у такому хвилеводі може поширюватися декілька тисяч типів хвиль, які мають різні значення фазових та групових швидкостей. Але це не має значення у даному випадку бо при передаванні зображень які навіть швидко рухаються на невеликі відстані, яскравість на вході кожного світловоду змінюється дуже повільно у порівнянні з часом пробігу сигналу у світловоду.

При передаванні великих об’ємів інформації на значні відстані бажано забезпечити одномодовий режим роботи світловоду. З цією метою діаметр керна (серцевини) зменшують до 3…5 мкм, а до 1,005…1,01. застосування спеціального, особливо чистого скла і сучасної технології виготовлення світловодів для далекого зв’язку дозволило знизити згасання в них до 0,2 дБ/км на довжині хвилі мкм, що у десятки разів менше згасання при поширенні цього ж випромінювання у атмосфері Землі.

Найбільше значення згасання і дисперсії отримують в градієнтних світловодах, показник заломлення яких плавно змінюється вздовж радіуса, наприклад, по параболічному закону. Застосування нових матеріалів дозволяє знизити згасання у світловодах ще на порядок.

 

Смужкові хвилеводи

Смужкові хвилеводи (смужкові лінії передачі електромагнітної енергії) знайшли широке застосування при мікромініатюризації НВЧ - пристроїв і виробництві інтегральних НВЧ – схем через такі важливі переваги:

- широкосмуговість;

- малі габарити та маси;

- можливість застосування друкованого монтажу;

- легко здійснюється автоматизація процесу виробництва.

На практиці найпоширенішими такі конструкції смужкових хвилеводів (ліній передачі): симетрична смужкова, несиметрична смужкова, симетрична щілинна, несиметрична щілинна та компланарні.

Серед основних параметрів смужкових ліній насамперед згадаємо хвильвий опір та критичну частоту.

 

Симетрична смужкова лінія

Симетрична смужкова лінія мало поширена на практиці у порівнянні з іншими конструкціями через її низьку технологічність. Такий хвилевід представляє собою діелектричний стрижень прямокутної форми попереднього перетину з розмірами а та в. (рис.1.15.1а)

 

 

Рисунок 1.15.1

 

Зверху та знизу він має шари металізації, а посередині вздовж стрижня проходять проходить металева тонка смужка шириною d. На рис.1.15.1б показана структура поля хвилі, яка поширюється у такому хвилеводі (суцільні лінії – вектор Е, штрихові - Н). якби не було центрального провідника (смужки), то мав би місце двоплощинний хвилевід, розглянутий у підрозділі 1.2, у якому могли б поширюватися хвилі Е та Н типів. Наявність смужки структуру поля суттєво змінює за рахунок появи Т хвиль, які концентрують енергію навколо центрального провідника.

Критична частота найближчої моди (типа коливань), яка є одночасно і граничною частотою для даної смужкової лінії, визначається за наближеною формулою:

(1.15.1)

де d та b виражені у мм, - у ГГц.

Хвильовий опір симетричної смужкової лінії з малою товщиною та при достатньо точно для багатьох інженерних розрахунків, може бути знайдений зі співвідношення:

, (1.15.2)

де - відносна діелектрична проникність діелектричного стрижня.

Крім того, слід зауважити, що для підтримки одномодового режиму з хвильою Т типу розміри b та d повинні бути меншими за . Ширина ж основи вибирається з умови , при якій електричне поле на її краях буде незначним.

 

Мікросмужкова лінія

Мікросмужкома (несиметрична смужкова) лінія серед решти найбільш технологічна щодо її виготовлення друкованим методом (рис.1.15.2).

 

 

Рисунок1.15.2

 

Характеристики такої лінії розраховуються за умови, що у ній поширюється квазі – Т – хвиля, яка за структурою на низьких частотах збігається з Т – хвильою, але при достатньо високих частотах з’являються скінченні значення складових та , а за ними дисперсія (залежність , від частоти). Практично в мікросмужкоих лініях відсутня до частоти 3 ГГц.

На рис.1.15.3 подаються графіки розподілу електричного поля у поперечному перетині лінії. Напруженість електричного поля досягає максимального значення поблизу краю смужки (1,2 на рис.1.15.3б), що обумовлено підвищеною концентрацією електричних зарядів у цих місцях. При віддаленні від країв смужки напруженість електричного поля зменшується і прямує до нуля. У центрі шару металізації та нижньої поверхні смужки (1,2 на рис.1.12.3б) вона досягає напруженості поля плоского конденсатора . На зовнішній поверхні смужки (2 на рис.1.15.3б), у центрі, Е практично дорівнює нулю.

 

Рисунок 1.15.3

 

Струм на нижній стороні смужки (4 на рис.1.15.3в), маючи повздовжну складову, буде максимальним посередині і плавно зменшуватимуся до її країв. Струм на верхній поверхні шару екранізації буде протилежним струму смужки, максимальним посередині і спадати практично до нуля на краях (5 на рис.1.15.3в)

Верхня межа робочого діапазону частот мікросмужкової лінії визначаються умовою відсутності збудження паразитних поверхневих хвиль. Частота збудження таких хвиль, є верхньою граничною частотою використання лінії, знаходиться за співвідношенням:

, (1.15.3)

де b виражено у мм, - у ГГц.

З похибкою не більшою за 0.6% хвильовий опір мікросмужкової лінії можна визначити за формулами:

при , (1.15.4)

при , (1.15.5)

де ефективна діелектрична проникність діелектрика лінії визначається за формулою:

(1.15.6)

Слід зауважити, що остання формула справедлива для відносно малих частот, на яких дисперсія виражена слабо. Виникнення дисперсії на високих частотах у мікросмужковій лінії пояснюється зростанням зі зростанням частоти через збільшення концентрації поля електромагнітного поля у діелектрику.

 

Симетрична щілинна лінія.

Симетрична щілинна лінія представляє собою вузьку щілину, прорізану у тонкому провідному шарі, виконаній на одному боці діелектричної основи з великим значенням діелектричної проникності (рис.1.15.4)

Рисунок 1.15.4

 

Оскільки в її структурі поля є велика повздовжна складова магнітного поля (рис.1.15.4в) , то вважається, що основним типом хвилі у симетричній щілинній лінії є Н – хвиля. Через те, що і зсунуті за фазою на , магнітне поле є еліптично поляризованим, що використовується при створенні невзаємних феритових пристроїв.

Якщо порівняти цю лінію з мікросмужковою, то в симетричній щілинній лінії:

- більш сильно проявляється дисперсія (залежність , від частоти);

- більше при однакових відношеннях ;

- більш зручний монтаж навісних елементів;

- значно нижчі втрати, бо струм в симетричній щілинній лінії розподілений по більшій поверхні;

- максимум струму знаходиться на краях щілини і за експонентою зменшується при віддаленні від її країв.