Жай сандар және олардың қасиеттері

8-анықтама. Бүтін саны 0 мен -ден өзге болса және мен сандарынан басқа бөлгіштері болмаса, жай сан деп аталады.

Мысалы, 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 сандары алғашқы оң жай сандар болса -2,-3,-5,-7,-11,-13,-17,-19,-23,-29 алғашқы теріс жай сандар болып табылады.

9-анықтама. Бүтін саны мен 0 мен -ден өзге болса және мен сандарынан басқа да бөлгіштері болса, құрама сан деп аталады.

Мысалы, 4,6,8,9,10 сандары құрама сандар. Жай санның анықтамасынан бірталай салдарлар шығады. Алдағы уақытта тұжырымдарды оң жай сандарға қатысты қарастырамыз.

15-теорема. Егер жай сан болса, онда кез келген саны не санына бөлінеді, не мен өз ара жай болады.

Дәлелдеуі. Шынында да, анықтама бойынша, санының екі бөлгіші 1 және бар, сондықтан мен сандарының ортақ бөлгіші не 1 саны, не саны болуы мүмкін. Егер ортақ бөлгіші болса, онда саны -ға бөлінеді, ал ортақ бөлгіші 1 болса, онда мен өз ара жай сандар болады.

16-теорема. Егер екі немесе бірнеше бүтін сандардың көбейтіндісі жай санға бөлінсе, онда бұл санға көбейткіштердің кемінде біреуі бөлінеді.

Дәлелдеуі. Математикалық индукция әдісімен дәлелдейміз. Әуеліекі және сандарының көбейтіндісін қарастырайық. Егер болса, онда немесе саны -ға бөлінбейді. болса, онда теорема дәлелденді. Ал, егер саны -ға бөлінбесе, онда, жоғарыдағы теорема бойынша, Онда 8-теорема бойынша Енді теорема, көбейткіштер саны -дан кіші болғанда дұрыс деп есептеп, олардың саны болғанда да дұрыстығын дәлелдейік.

көбейтіндісін қарастырайық. Бұл көбейтіндіні көбейтудің ассоциативтігін пайдаланып, екі көбейтінді түрінде өрнектеуімізге болады.

Ал, екі көбейткіш үшін теорема дұрыс болғандықтан немесе сандарының бірі -ға бөлінеді. Егер болса теорма дәлелденді. Егер болса, индуктивтік ұйғарым бойынша, саны көбейткіштен тұратын болғандықтан, сандарының бірі -ға бөлінеді. Теорема толық дәлелденді.

17-теорема. Кез келген бүтін сан, кем дегенде бір жай санға бөлінеді.

Дәлелдеуі. Математикалық индукция әдісін пайдаланайық.

1. болса, онда теорема дұрыс. Себебі 2 саны, жай сан 2-ге бөлінеді.

2. болғанда теореманы дұрыс деп есептеп, болғанда да дқрыстығын дәлелдейік.

3. болсын. Егер жай сан болса, онда ол жай санына бөлінетіндіктен, теорема дәлелденген болады. Егер құрама сан болса,онда Ал болғандықтан, индуктивтік ұйғарым бойынша,m саны үшін теорема дұрыс, яғни ол кем дегенде бір жай санына бөлінеді. Онда бөлінгіштің қасиеті бойынша саны да -ға бөлінеді. Теорема дәлелденді.

Біз қарастырып отырған бүтін сандар сақинасының структуралық ерекшелігі мына теоремамен өрнектеледі.

18-теорема. Кез келген бірден өзге бүтін сан не жай сан, немесе ақырлы жай сандардың көбейтіндісі түрінде бір ғана тәсілмен өрнектеледі.

Дәлелдеуі. 1. болсын. Онда 2 жай сан болғандықтан теоремадағы тұжырым үшін дұрыс.

2.Енді теоремадағы тұжырым болғанда дұрыс деп есептеп, болғанда дұрыстығын дәлелдейік.

3. бүтін санын қарастырайық. Егер жай сан болса, онда оны екі санның көбейтіндісі түрінде өрнектей аламыз:

мұндағы,

Ал, және сандары -ден кіші болғандықтан, индуктивтік ұйғарым бойынша, ол сандарға қатысты теоремадағы тұжырым орындалады; яғни Демек,

Жалғыздығын да индукция әдісімен дәлелдейміз.

1. болсын. 2 жай сан болғандықтан,ол басқа сандар көбейтіндісі түрінде жіктелмейді. Демек, болғанда тұжырым дұрыс.

2. Тұжырым болғанда дұрыс деп есептеп, болғанда дұрыстығын дәлелдейік.

3. болсын, егер жай сан болса, онда ол жай сандар көбейтіндісіне жіктелмейді. Енді құрама сан болсын және ол жай сандар көбейтіндісі түрінде екі тәсілмен жіктеледі дейік:

және

Онда Бұл теңдіктің сол жағындағы өрнек жай сан -ге бөлінетіндіктен, оң жағындығы өрнек те -ге бөлінеді. Онда, 15- теорема бойынша, көбейткіштерінің бірі -ге бөлінеді. дейік. Ал жай сан болғандықтан Жоғарыдағы теңдіктің екі жағын да -ге бөлсек

теңдігін аламыз.

Ал саны -ден кіші болғандықтан, индуктивтік ұйғарым бойынша, ол жай сандар көбейтіндісі түрінде жалғыз тәсілмен өрнектеледі, яғни, m=s. Демек,

Кез келген құрама санының жай көбейткіштерге жіктелуінде, кейбір

көбейткіштердің тең болуы мүмкін.

Айталық жіктелуіне саны рет, саны рет т.с.с. ақырында саны рет енеді делік, онда санын

(4)

түрінде жаза аламыз, мұндағы сандары -ның әр түрлі жай бөлгіштері, ал -натурал сандар. Әдетте сандарын өсу реті бойынша орналастырылады.Осы (4) өрнек санының канондық жіктелуі деп аталады. Бұл өрнекті санын факторизациялау деп те атайды.

Мысалы, 432 санының канондық жіктелуі болады. Санның канондық жіктелуін білгеннен кейін, бір санның екінші санға бөлінгіштік критерийін тағайындауға болады. Айталық саны с санына бөлінеді дейік:

Сонда с санының канондық жіктеуіндегі әрбір жай сан санының жіктеуіне де қатысуы тиіс және керісінше, с саны санының бөлгіші болғандықтан, санының канондық жіктеуіндегі жай сандарға ғана бөлінуге тиісті. Сонымен бірге, с санының жіктеуіндегі жай бөлгіштің қай-қайсысыныңда дәреже көрсеткіші, осы жай санының санының канондық жіктеуіндегі дәреже көрсеткішінен артпауы тиіс. Бұдан мынандай маңызды қорытынды шығады:

1-салдар. Егер санының канондық жіктеуі

болса, онда мұның кез келген с бөлгішінің жіктеуі

болады, мұнда

Канондық жіктеуі берілгеннен кейін, екі не бірнеше санының ең үлкен ортақ бөлгішін және ең кіші ортақ еселігін табуға болады. а және b сандарының канондық жіктеулері белгілі болсын.

Мұндағы, және сандары нольге де тең болуы мүмкін. Онда а және b сандарының канондық жіктеулерінің екеуін де бірдей жай сандар арқылы өрнектеуімізге болады.

2-салдар. а және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші төмендегіше анықталады:

мұнда

Мысалы, 360 және 96 сандарының канондық жіктелуі

және

белгілі, енді осы екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу керек болсын. Жай екі және үш сандары берілген екі санның да ал, 5 саны тек 360 санының жіктелуіне еніп отыр. Олай болса, жай 2 және 3 сандарының еі кіші 2³ және 3¹ дәрежелерінің көбейтіндісі ізделінді, ең үлкен ортақ бөлгіші болып табылады

3-салдар. а және b сандарының ең кіші ортақ еселігі төмендегіше анықталады:

мұнда

Алдыңғы мысалда жай 2,3,5, сандары 360-пен 96 сандарының кемінде біреуінің жіктеуіне еніп отыр, атап айтқанда 2⁵,3²,5¹ –ең үлкен дәрежелер. Сондықтан

Үш не одан артық сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші және ең кіші ортақ еселігі де осылайша табылады.

Енді санының бөлгіштерінің табу мәселесімен шұғылданайық, атап айтқанда осы санның барлық бөлгіштерінің санын табайық.

19-теорема. Егер санының канондық жіктеуі болса, онда санының барлық натурал бөлгіштерінің саны формуласымен анықталады.

Дәлелдеуі. 18-теореманың 1-ші салдары бойынша, санының кез келген с бөлгіші төмендегіше өрнектеледі:

мұнда,

Сондықтан, санының барлық натурал бөлгіштерінің санын анықтау үшін, -терден тұратын және теңсіздігін қанағаттандыратын, жиынтықтардың мүмкін комбинациясын есептеуіміз керек. -лардың қабылдай алатын, жоғарыдағы теңсіздікті қанағаттандыратын мәндерінің саны көрсеткіштері мәндерін бір-бірінен тәуелсіз қабылдайтындықтан және жай сандар көбейтіндісіне жіктеу жалғыз болатындықтан (18-теорема), көрсеткіштер мәндерінің әр түрлі комбинациясын шығарып аламыз. Демек, санының барлық бөлгіштерінің санын деп белгілесек, ол мына формуламен табылады

мысалдар, 1. Айталық Онда болғандықтан,

2.Айталық санының бөлгіштерін табу керек болсын. Ол санның канондық жіктеуі болады. Олай болса,

Енді, осы санының бөлгіштерін тауып көрейік. Ол үшін, жалпы формуланы жазамыз мұнда -лер 0,1,2,3 мәндерін қабылдайды. мен мәндерін өз ара комбинациялай отырып, сәйкес бөлгіштерді табамыз:

Мұнда жазу керек

0;0

Енді берілген санының барлық бөлгіштерінің қосындысын есептеуге формула қорытып шығарайық.

20-теорема. Егер санының, канондық жіктеуі белгілі болса, онда бұл санның барлық натурал бөлгіштерін қосындысы

формуласымен анықталады.

Дәлелдеуі. санының кез келген с бөлгіші, 18-теореманың 3-ші салдары бойынша, түрінде жіктелетінін білеміз. Енді s жақшадан тұратын мына өрнекті (5)

қарастырайық. Бұл өрнектің 1-ші жақшасы санының барлық бөлгіштерінің қосындысы, ал 2-ші жақша санының барлық бөлгіштерінің қосындысы т.с.с. Сонымен, ақырында соңғы жақша санының барлық бөлгішгіштерінің қосындысы. (5) өрнектегі жақшаларды ашып, мына қосындыны табамыз:

(6)

бұл қосындының әрқайсысы санының бөлгіші болатын

түріндегі әр түрлі қосылғыштардан құралған

бөлгіштердің қосындысы болып табылады. Демек, (6) өрнек санының барлық бөлгіштерінің қосындысы болмақ. Ал егер (5) өрнектің әрбір жақшасын өз алдына жеке есептеп алатын болсақ, онда біз бірден санының барлық бөлгіштерінің қосындысын беретін формуланы табамыз:

Мысалдар. 1. санының барлық бөлгіштерінің қосындысын табайық. болғандықтан, жоғарыдағы формула бойынша,

2. санының барлық бөлгіштерінің қосындысын табайық.