ʳ
қ ұң қ - қ ә қ ү қ қғ ү қ қ ұғ . қ ұ ә қғ ү ң ә ң ү ң қ ғғ.
қ ұ қ ү қғ ғ. 1 қ ғ. RSA қ, қ - қ қң ұ.
2 қ қ қ ғ. , , - қ..
1.1
.
ғ ғ қ RSA ә қ .
Құ ұқ, ұғ ә ә ң .
ң ұқ ң ңғ қ. I ө қ (ңғ ң ғ ) ү ң, j ң ү ә q ң.
-қ ә
i | |||||
j | |||||
p q | 7.11 | 5.17 | 3.11 | 11.19 | 13.17 |
ң ғ
i | |||||
j | |||||
p q | 7.17 | 5.11 | 7.13 | 11.17 | 5.13 |
ғ ғ ә ұқ
RSA қ, қ ә - - әң ң ң ғ ү .
Әү -ң (қ ү) ө ғ қ, 1977 құғ ә өң құң , ә ғ RSA ү, әқ ң ққ .
ғ ү ң ү ғ қ, қ ң ә ө ү . RSA ң ә ( ). қ ү ұғ ө ғ , ә қ ң ө , ғ қ ғ .
|
|
қ қ ұң қ RSA ң қғ ғ , ң қ ң . қ RSA , ә ғ ( ғ қ ө) ұ ү қ.
ң қғ қ ә ққ.
1 . (ң .)
,
xp-1 = 1(mod p) (1)
-ғ қ , ү ә
xp = x(mod p) (2)
ү.
ә. xp ү (1) ә (2) ңң ә ә . ә ә ү.
(3) ң =0 ә 1 ғ ғ қ. қ
xp = (x 1 + 1)p = C(p,j)(x 1)j = (x 1)p + 1(mod 2),
0<j< ғ C(,j)=0(mod ). ң ә ә әң ұ ә.
қ. φ(n) ү, n ә n қ .
1.2 қ ә:
n | |||||||||||
φ(n) |
2 . n = q, ( ә q қ ),
φ(n)=(-1)(q-1)
3 . n = q, (ә q қ ) ә ә q қ ,
xφ(n) = 1(mod n)
. n = q, (ә q қ ) ә (n)- қ , ө
E,n : xx(mod n)
Zn- қ ө ә .
f(n) қ , ө ң , ү d ң қ,
ed ≡ 1 (mod φ(n)) (3)
RSA қ қ .
n = q ң , ұғ ә q әү . e ә d e,n ә d,n ө Zn- . e, d, , q , d,n ө e,n қ ң .
e ә n , қ ә q , e,n қ ; d,n- n , n ң . ә q ү ү , n- ү . RSA үң қғ.
|
|
RSA ү
Қ ң ң ғ қ ү,RSA ү .
n = pq p, q ү ң ү ұ ү . ң қ e ә d ә, қ
ed ≡ (mod φ(n)), (1)
ұғ φ(n) = (p-1)(q-1) n қ ң ә. k = (n,p,q,e,d) k1 = (n,e) қ ә құ k2 = (n,p,q,d) ұ, ң ғ . M қ әң ә C ә ә . ә қ:
= Ek (M) =Me (mod n), Dk(C) = Cd (mod n) (2)
(2) ң Dk(C) = M ө ә .
(1) қғ, e ә d ә , φ(n) ө ң, d-ң ә ң қ
φ(n)x + ed = 1 (3)
ғ (3) ң ax + by = c ү ә (ұғ a = φ(n), b = e, y = d) ә ң .
ңң
y = (1)μ aμ-1 x = (1)μ+1 b μ-1 (4)
a/b қ ө ү ө ғ :
ұғ μ өң ,ғ қғ ө , ө ң ,
(5)
ү қғ үң ғ ң
(6)
(3) ң ү a/b қ ө ұ, r0, r1rμ ә μ. ә қ . (4) (6) ңң ә қ ai, bi ә, қ x ә y ә қ.
p = 17, q = 31 қ , RSA . ү n = pq = 527 ә μ(n) = (p-1)(q-1) = 480 ә . e , μ(n) ө ң,ә, e = 7. μ(n)x + ey = 1 қ қғ,ө қ ү x ә y . 480x + 7y = 1 ү
ә,
μ = 3, a0 = 68, b0 = 1, a1 = 69, a2 = 169 + 68 = 137, b2 = 11 + 1 = 2.
, x = 2, y = 137.
137 (mod 480) = 343 ң ғқ, d = 343.
7 343 = 2401 = 1(mod 480).
0526 құ ң ұ. ү R, S ә A ә , ғ ң ң қ,:
R = 18 = (10010), S = 19 (10011), A = 1 (00001).
RSA = (100101001100001). 0526 , ө :
RSA = (100101001), (100001) = (M1 = 297, M2 = 33).
M1 ә M2 ә :
C1 = Ek (M1) = M1 = 2977 (mod 527) = 474
ұ ң ққ
ә ә : 1 = 474, 2 = 407.
|
|
әң . ,
343 = 256 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1 қғ ә ғ қ ңғ . ғң ө :
ғ ә
ә қ
Ә ғ қ , RSA қ .
2.2.. қ , ң қ , қ ң ү .
1.2
1.2 ә құң қ қң.
1.1 ң ә қ , .509 ұ ғ ң ө ү m . 0 ө ң .
m құ d- қ, қ құң ғ қ қң RSA ә қ.
қ қңң ұ ұ ң қ қ.
.509 ү :
Hi=[(Hi-1 Å Mi)2] (mod n), ұ i=l,n, H0 , i =1,2,3,n - ұғ.
қ ө ә ғ ң ң қ. ү қ .
p=3, q=11 .509 ң ө ң .
- қ :
) n=pq= 3*11=33 ң ә ;
) әң әң қ ә ү :
16 17 6 5 6 12
00010000, 00010001, 00000110, 00000101, 00000110, 00001100:
) ө, ң қ ә i :
13 -қ ә:
M1 | M2 | M3 | M4 | M5 | M6 |
M7 | M8 | M9 | M10 | M11 | M12 |
) қ :
1 | |
Å | |
0=0 | |
0 Å 1 | 11110001=24110 |
[(H0Å M1)2] (mod 33) | 2412 mod 33 = 10 |
1 | 1010=00001010 |
2 | |
Å | |
1 | |
1 Å 2 | 11111010=25010 |
[(H1Å M2)2] (mod 33) | 2502 mod 33 = 19 |
1 |
Ү
3 | |
Å | |
2 | |
2 Å 3 | 11100010=22610 |
[(H2Å M3)2] (mod 33) | 2262 mod 33 = 28 |
3 |
ө
4 | |
Å | |
3 | |
3 Å 4 | 11101101=23710 |
[(H3Å M4)2] (mod 33) | 2372 mod 33 = 6 |
4 |
5 | |
Å | |
4 | |
4 Å 5 | 11110110=24610 |
[(H4Å M5)2] (mod 33) | 2462 mod 33 = 15 |
5 |
6 | |
Å | |
5 | |
5 Å 6 | 11111001=24910 |
[(H5Å M6)2] (mod 33) | 2492 mod 33 =18 |
6 |
|
|
7 | |
Å | |
6 | |
6 Å 7 | 11100010 = 22610 |
[(H6Å M7)2] (mod 33) | 2262 mod 33 = 28 |
7 |
8 | |
Å | |
7 | |
7 Å 8 | 11101001= 233 |
[(H7Å M8)2] (mod 33) | 2332 mod 33 = 2 |
8 |
ғ
9 | |
Å | |
8 | |
8 Å 9 | 11110010 = 24210 |
[(H8Å M9)2] (mod 33) | 2422 mod 33 = 11 |
9 |
10 | |
Å | |
9 | |
9 Å 10 | 11111101 = 253 |
[(H9Å M10)2] (mod 33) | 2532 mod 33 = 22 |
10 |
11 | |
Å | |
10 | |
10 Å 11 | 11100110 =23010 |
[(H10ÅM11)2] (mod 33) | 2302 mod 33 = 32 |
11 |
12 | |
Å | |
11 | |
11 Å 12 | 11011100 = 22010 |
[(H11ÅM12)2] (mod 33) | 2202 mod 33 = 22 |
12 |
, қ m=22 - .
қ қң ү қ:
S=md (mod n) = 223 mod 33 = 22
(M, S) ұ қғ S қ қң қғ қ құ , ұғ қң S құ d-ң ғ.
(M, S) ұ ғ ң қ ң - ә қ:
1) m қ ө S қңң қ ү қ қ :
m=Se (mod n) =227 mod 33 = 22
2) ң ө қғ ң ә : m=H(M) =22.
m ә m ә ң , қ (M, S) ұ үұқ .
қ ұқ
1. қ ү қ құ ұң ұ ң.
2. қ қң ғ құ ұң ұ ң.
3. Құң қ қң -ғ қ өң.
4. үұқғ қ қң ғ RSA ү қ қ ұғ ? ң.
2.1
қ - ү
- (DH) ә ү құ ң. ү 1 құ ң ә ң. қ ң ә ә қң ә ә ң. ң ұқ i (ңғң ғ ) ә j (қ ң ңғ ) ө ұ ү . j ңғ ү қ ө. ү - қ ң ңғ ң. , қ ғ (15). ү x=11 ң, i =1. ү x =29, j= 5. Ү ү (j +1)=i x= 31 , j =6. ө ү x = 37, j =7. x = 39 ң, ө j=8. , ңғ (27) ү - j =7 . x = 31,37, 39,41, 7 ң.
Ұ ә p = 30803, g = 2.
2.1 - қ ә:
I | |||||
x |
I | |||||
x |
ғ ғ ә ұқ
|
|
қ ү - ү.
ұ ү 70-ң қ ғ (Whitfield Diffie) ә (Martin Hell-man) ә ң қ қ ғ ғ ә. ұ қғғ құ қ-қ қ қғғ ү ү. ұ ү қ ұң ө ү N қ ққ, ұғ N-ү . ң ә ұ ү құ ұғ . құ үң қ ү қ қ, ң ә ұ өң құ қ , ғ ғ қ .
100 , 5000 , 104 , 5*107 қ . ө ұғ, ң ө ғ, құ қ ү ө ү ә ққ ү.
ә ұ ә қ ә қ . ұғ ү .
,,,... ү ү құ. Ә ң өң құ ә қ қ . ұ ү ұ ү ү ә {1, 2, ∙ ∙ ∙, 1} қғ g mod p ң әү ә ә g ң, 1 < g < -1 (g- ң ә ү ә , ң ө ө). g қ .
құ қ Xa,Xb,Xc ү ң (ә ұ ң қ қ, қ ұ). Ә қ қ ә Ү қ,
Y = gXa mod ,
YB = gXb mod .. (1)
Y = gXc mod .
ә .
2.2 - - ү ң
A B C | XA XB XC | YA YB YC | ZAB, ZAC ZBA, ZBC ZCA, ZCB |
ұ ә 2 ә . ғ қ . ә
ZAB = (YB) modp (2)
- қ ұ , құ.
Ө
ZBA = (YA)XBmodp (3)
ә .
1- - ү ұ ө.
ғ ғ ң ққ. g ң , ұ g 1 ғ қ ү. ә, қғ үң ғ ұқғ қ ү g - 1 ү ү ө . қ ә қ ұ.
=2q+1 (ұғ q- )
ң ң ә
1 < g < - 1 gq mod 1
ң қғ қ.
ү ұқ ү ө ү ү ң қ.
1 - - ү ұ
g = 43 . ңқ. q=17 401 ө.
ә =2*17 401+1=34 803. : 4317401 mod 34 803 = 17 746. Қ , ғ ұ . , = 34 803, g = 43 ңқ. ә құ ң ә ғ ә қ . A = 7, B = 13 ң. YA = 437 mod 34 803 = 11 689, YB = 4313 mod 34 803 = 14 479 қ. қ құ ғ . ү ZAB = 144797 mod 34 803=6 415, ZBA = 11 68913 mod 34 803 = 6 415 . 6 415 қ .
қ ұқ
1. қ қ ң - ү қ ққғ ?
2. - ү ққ ң.
3. Құ қ ү ң қ үң?
2.2
3- m ң ә -ң ә , ү ү . ө (ңғң ғ ) , j ғ ғ ң. қ ү ә (I + 1) ә (G + 1) ә ү. , қ ң ңғ - (26). Ү ү (,) - (16,49), (18,51), (20,53) ң.
3 қ ә:
I | |||||
G | |||||
p |
I | |||||
G | |||||
p |
2.2 ғ ғ ә ұқ
(Adi Shamir) ұғ ұ қғғ ә құ қ, ә, ү, қ - ө ғ, қ құ ұғ ү . (ң , - ү құ ө ғ ү , ү қ қ қ қ ).
ү ғ ө. ә қ . қ қ ұ , m . қ ү ң ә ғ қ ү . ң ә dA ң,
dA mod ( - 1) = 1 (2.1) .
ұ құ қ ә . құ ә d ң,
d mod (p - 1) = 1 (2.2)
ұ ң ү қ өң m . m < (m қ) , . m , m1, m2,..., mt ү . ұғ mi < , ә m1, m2,..., mt . ғ ә mi ү қ ң ұ ңғ ұ қ ғ үң ө. Қ ұ ү қ. : құ - . , m < ғ ғ қ.
.
1 Қ. 1 =m mod p (2.3) ғ. ұ m қ , ә 1 ғ .
2 Қ. 1 ғ 2 = 1CB mod p (2.4) ғ ә 2 ғ .
3 Қ. 3 = 2dA mod p (2.5) ғ ә ғ .
4 Қ. 3 ғ 4 = x3dB mod p (2.6) ғ.
ұ 2- ө.
2 ү ұ
( ң қ):
1) 4 = m, ғ ә қ ;
2) Қ қ .
ә. ғ - 0 ү , = k( 1)+r ү ққ, ұ r = mod (p - 1). қ .
(2.7)
ң ң .