Устойчивость САУ. Критерий Рауса-Гурвица

Передаточные функции. Основные свойства преобразования Лапласа.

Для анализа и синтеза САУ необходимо иметь математическое описание систем. Для этой цели системы разделяются на отдельные элементы (звенья, подсистемы) и составляются уравнения, описывающие поведение этих элементов. Уравнения составляются на основании анализа физических, химических, технологических, экономических, социальных и иных процессов, происходящих в конкретных элементах. Используются соответствующие законы (закон сохранения массы, энергии, вещества и пр.), применяются специальные исследования и экспериментальные методы для получения математического описания звеньев систем.

Все математические модели (ММ) разделяются на:

1. ММ стационарных и нестационарных САУ;

-ММ САУ с распределенными и сосредоточенными параметрами;

-Статические характеристики;

Динамические ММ в виде

1. Дифференциальные уравнения;

2. Разностные уравнения (для дискретных САУ);

3. Передаточные функции (ММ в виде структурной схемы);

Временные и частотные характеристики.
Передаточная функция звена

Преобразование Лапласа имеет следующий вид где - аргумент, - изображение данного аргумента, - некоторая переменная которая называется переменная Лапласа

Свойства преобразования при начальных нулевых значениях т.е. t=0 x(t)=0

1) , , 2) , 3) , , 4) , где L-преобразование

Преобразование по Лапласу с использованием его свойств

возьмем отношение

Отношение преобразуем по Лапласу выходной величины АСР или линейно к преобразованной по Лапласу входной величины элемента называется передаточной функцией АСР или элемента. Знаменатель передаточной функции = 0, называется характеристическим уравнением АСР

Определение. Передаточной функцией звена W (S) называется отношение изображений Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.

 

 

Устойчивость САУ. Критерий Рауса-Гурвица

Чтобы АСР нормально работала она должна быть устойчивая. Устойчивость АСР – способность возвращаться к установившемуся положению (установленное значение регулируемой величины после прекращения действия возмущения которое вывело её из данного установившегося положения). Для оценки устойчивости работы АСР применяют

1)Алгебраичес-й критерий Гурвиц и Раус.2)Частотные критерии Найквиста и Михайлова

Критерий Гурвица –основан на анализе неравенств состоящих из коэффициентов уравнения АСР. Характеристическое уравнение n-порядка

Оценка устойчивости АСР n-порядка по критерию Гурвица производится:

составляется из коэффициентов характеристического уравнения Таблица Гурвица – по главной диагонали выписываются ; строка таблицы с нечетным и чётными индексами чередуются; число элементов каждой строки = n, недостающие коэффициенты заполняются нулями; отчеркивая строки и столбцы получают n определителей Гурвица. АСР n-порядка является устойчивой если все (). Устойчивость АСР оценивается по 2-м условиям 1) - Необходимо положительно всех коэффициентов характеристического уравнения 2) – Достаточным является выполнение неравенств для определённого порядка АСР

 

Условия получения положительного определителя Гурвица:

АСР 2-го порядка 1. Достаточное условие устойчивости АСР является положительность коэффициентов характеристического уравнения. АСР 3-го n=3 достаточное условие . АСР 4-го n=4 достаточное условие