ЭМ өрістің потенциалдар арқылы жазылған теңдеулердің жалпы шешімі туралы түсінік.

4.1 Электродинамиканың негізгі теңдеулерін шешу үшін Максвел теңдеулерін интегралдауға тура келеді.Максвелл теңдеулерін нақты жағдайлар үшін тікелей интегралдау математикалық тұрғыдан белгілі бір қиындықтар туғызады.Сондықтан осы қиындықтан шығу үшін өріс потенциалдары деген көмекші шамалар енгізілді.

Кез-келген векторлық өріст математикалық тұрғыдан толық анықталған болып саналады,егер өрістің дивергенциясы(div) және роторы(rot) берілген болса. Сондықтан Максвелл теңдеулер жүйесі толық болып саналады. Себебі Максвелл теңдеулерінде және және арқылы анықталады. Дивергенциясы нөлге тең емес, ал, ротыры нөлге тең өріс потенциалды өріс деп аталады. Яғни күш сызықтары электр зарядтарынан басталып электр зарядтарынан аяқталатын өріс потенциялды өріс деп аталады. Дивергенциясы нөлге тең, ал, ротыры нөлге тең емес өрістер құйынды өрістер деп аталады. Яғни құйынды өрістердің күш сызықтары түйықталған болады. Көмекші шамалардың, яғни, өріс потенциялдарын енгізейік. Ол үшін

деп белгілесек. теңдеуін қанағаттандырады. Мұндағы векторы электромагниттік өрістің потенциялы деп аталады. Сонымен векторы физикалық мағнасы бар шама, ал, тәжірибеде анықталмайтын көмекші шама болып табылады. Дәл осы сияқты электрлік құраушысына көмекші шама енгізейік. Ол үшін = rot 4.1 , rot =0

Электростатикалық өрістің роторы 0-ге тең болатындығын ескерсек,онда

4.2 өрістің скаляр потенциалы.Сонымен өрістің скаляр және вектор потенциялдарының функциялары және берілген жағдайда векторларын дифференциалдау арқылы анықтауға болады.

4.2 4.1 және 4.2 өрістерді пайдаланып Максвеллдің диференцалдық теңдеулерін қайта жазып көрейік.

=- grad - (*), 4.3 (*)өрнекті ескерсек ,

сонда: 4.4 Сонымен ,

4.3 өрнекті түрлендіріп былайша жазуға болады. Кез –келген вектор үшін

= ескерсек. , grad(div + ) (-1) көбейтсек

Мұндағы ** шартын енгізейік.

Бұл Лоренц калигрофкасы деп аталады.

4.5

div =

- = 4.6

4.7

4.7 өрнек Максвелл теңдеулерінің потенциалдар арқылы жазылуы.

Мұндағы: 4.8

4.3

Максвелл теңдеулерінің потенциялдар арқылы жазылған өрнегінің артықшылығы оның жалпы шешімдерін алуға болатындығында. Максвелл теңдеулерінің потенциялдар арқылы жазылған өрнегінің шешімдерінің жалпы түріне тоқталайық. Есептің қойылуы қандайда бір инерциялды санақ жүйесінде зарядтарының орналасуы p=p(,t) және олардың қозғалысы = (,t) берілсін. Табу керек өрістің векторлары = (,t) ж /е = (,t)?

Есепті математикалық тұрғыдан жеңілдету мақсатында алдымен көмекші шамаларды-потенциялдарды анықтайық

1 типті математикадағы Даламбер теңдеуіне ұқсас
Даламбер теңдеуі

Даламбер теңдеуі математикада толық шешілген сондықтан оның жалпы шешәмә толқындық теңдеу деп аталатын біртекті теңдеулерге сәйкес келеді,ол былайша жазылады

Ал дербес шешімі u=v+ Бұл толқындық теңдеулердің электр зарядтары толқын болатынын айқындайды. Электр заряды жоқ кездегі кеңістіктегі электр магниттік өріс – еркін өріс деп аталады. Өрістің нақты қандай түрі болатындығы бастапқы шарттарға тәуелді болады. Бастапқы шарттар

= )

= )

= )

=

Лекция 5