Забезпечення надійності сприйняття стеганоповідомлення

Одной из основных задач любого стеганоалгоитма является обеспечение сохранения в секрете наличия тайного канала передачи информации, другими словами, сгенерированное стеганосообщение необходимо должно обладать надежностью восприятия: искажение контейнера за счет погружения ДИ не должно быть заметно. Таким образом, в систему стеганографической передачи данных включается человек, что вносит дополнительные, непреодоленные до настоящего момента трудности в процесс математической формализации обеспечения рассматриваемого требования.

До настоящего времени при анализе уровня визуальных искажений, которые вносятся в контейнер при стеганопреобразовании, широко применяются разностные показатели, основывающиеся на различных модификациях отношения «сигнал-шум»:

 

; ; , (1)

 

где — матричная норма Фробениуса, хотя слабые места таких показателей давно известны (например, отсутствие корреляции этих показателей со зрением человека). Это объясняется тем, что все существующие модели зрительного восприятия являются лишь частичным отражением зрительной системы человека в силу ее сложности, а показатели искажения, основанные на таких моделях, информация о которых доступна из открытой печати, все еще остаются несовершенными и достаточно сложными в реализации.

Поскольку стеганопреобразование контейнера, а также возмущающие воздействия, которым подвергается стеганособщение (СС), должны обеспечивать надежность его восприятия, то не может быть бесконечно большой, где — матрица возмущения контейнера или СС, т.к. в этом случае достоверным событием окажется нарушение выдвинутого требования. Кроме того, при вероятность обеспечения надежности восприятия будет стремиться к единице для каждого контейнера. Значения разностных показателей (1) для изображения с матрицей определяются величиной : чем меньше , тем лучше количественный показатель визуального искажения , тем больше вероятность обеспечения надежности восприятия для изображения с матрицей при заданном изображении .

Рассматривая матрицу контейнера как симметричную, будем обозначать ее далее , чтобы отличать от произвольной матрицы .

Теорема 1. Пусть погружение ДИ вызывает возмущения СЗ матрицы контейнера. Тогда величина нормы матрицы возмущения не зависит от того, какие СЗ были возмущены, а зависит лишь от абсолютных величин этих возмущений.

Доказательство. Обозначим матрицу СС, полученную на основе . Если спектральное разложение имеет вид , то для матрицы СС имеем:

 

.

Тогда:

, .

 

Связь между и зависит от выбора матричной нормы. Например, если рассмотреть норму Фробениуса, то

 

,

 

заключение теоремы остается истинным.

 

Теорема 2. Пусть стеганопреобразование вызвало возмущение собственных векторов (СВ) матрицы контейнера. Достаточным условием для обеспечения малого значения нормы матрицы возмущения является соответствие возмущенных СВ малым по модулю СЗ .

Доказательство. Пусть — векторы возмущений СВ , отвечающих СЗ . Для матрицы СС , учитывая представление ее спектрального разложения в форме внешних произведений, имеет место выражение:

 

 

Из (4), учитывая согласованность спектральной матричной нормы и векторной 2-нормы, вытекает заключение теоремы:

 

. (5)

 

Теорема 3. Пусть стеганопреобразование возмутило СВ матрицы контейнера. Достаточным условием для обеспечения малого значения нормы матрицы возмущения является соответствие возмущенных СВ собственным значениям матрицы контейнера с малой абсолютной отделенностью.

Доказательство. Поскольку неравенство (лекция 6) имеет место для каждого СЗ матрицы , то

, (6)

 

откуда вытекает заключение теоремы. Заметим, что из формулы (6) следует, что если при возмущении исходной матрицы ее СЗ не меняются или меняются незначительно, то даже большие возмущения СВ, отвечающих плохо абсолютно отделенным СЗ ( мала), приведут к малому значению .

Поскольку произвольное стеганопреобразование эквивалентным образом представимо в виде возмущения спектра и (или) СВ матрицы контейнера (лекция 6), то из вышесказанного вытекает истинность следующего утверждения.

Утверждение. С целью обеспечения большой вероятности надежности восприятия СС погружение ДИ в контейнер целесообразно производить таким образом, чтобы возмущенные стеганопреобразованием СВ соответствовали малым по модулю СЗ или СЗ, имеющим малые абсолютные отделенности, возмущения СЗ были малы. Чем меньше возмущения СЗ, абсолютные отделенности и модули СЗ, соответствующих возмущенным СВ, тем больше вероятность соблюдения надежности восприятия СС.