Тема 2. Решение задач по диаграммам статической и динамической остойчивости. Определение опрокидывающих статических и динамических моментов.

Решение задач на статическое накренение по диаграмме статической остойчивости.

Предположим, что на судно действует момент М_кр., не зависящий от угла крена. На диаграмме моментов (рис. 1) он будет изображаться прямой линией, параллельной оси абсцисс, которая пересекается с кривой восстанавливающего момента в точках А и В.

Рис. 1 Определение статических углов крена по диаграмме статической остойчивости.

 

Точки А и В являются точками статического равновесия, так как в них соблюдается равенство кренящего и восстанавливающего моментов. В точке А угол крена соответствует устойчивому равновесию, так как если вывести судно из равновесия, каким-либо образом увеличив этот угол, то кренящий момент получится меньше, чем восстанавливающий и судно вернётся в положение равновесия. Если уменьшить этот угол, то кренящий момент окажется больше восстанавливающего и судно под действием разности моментов также вернётся в положение равновесия. В точке В угол крена характеризует положение неустойчивого равновесия. При выходе из него с увеличением угла крена кренящий момент будет больше восстанавливающего и судно перевернётся. При выходе из него с уменьшением угла крена кренящий момент окажется меньше восстанавливающего момента, и судно перейдёт в состояние равновесия, соответствующее углу крена . Таким образом, только углы крена на восходящей ветви диаграммы статической остойчивости являются углами статического равновесия. Если диаграмма статической остойчивости построена не для моментов, а для плеч статической остойчивости, то, чтобы найти по ней угол статического крена, необходимо найти плечо восстанавливающего момента, разделив кренящий момент на весовое водоизмещение судна (именно сила, равная по величине весовому водоизмещению создаёт восстанавливающий момент, равный кренящему при угле крена ).

(1)

Пример: весовое водоизмещение судна равно 5000 тонн. В результате воздействия качки 100 тонн груза сместились к борту так, что центр тяжести этой части груза сместился от диаметральной плоскости на 5 метров. Таким образом, возник кренящий момент 100 х 5 = 500 тм. При накренении судна из-за смещения груза на некоторый угол , кренящий момент сравняется с восстанавливающим моментом, которому соответствует плечо, равное м. Отложив на оси ординат это плечо и проведя горизонтальную линию до пересечения с диаграммой статической остойчивости, получим угол крена .

Если приложить к судну максимально возможный кренящий момент (при его дальнейшем увеличении судно опрокинется), то соответствующая ему прямая коснётся диаграммы статической остойчивости в точке М_В (точки А и В сольются в точке касания). Соответствующий ей кренящий момент называется предельным статическим кренящим моментом. Этой точке соответствует максимальный угол крена .Он является углом неустойчивого равновесия. Судно может безопасно плавать в накренённом положении только при углах крена, меньших , так как при равном или больших углах всегда могут найтись такие внешние силы, которые переведут судно из положения равновесия к углу заката диаграммы и оно опрокинется.

 

Решение задач на определение динамических углов крена по диаграмме статической остойчивости. Определение динамического опрокидывающего момента по диаграмме статической остойчивости.

В случае воздействия на судно динамически приложенного кренящего момента условием равновесия будет равенство не кренящего и восстанавливающего моментов, а равенство их работ:

 

, (2)

где - угол крена, соответствующий углу динамического равновесия.

Этот угол может определяться по диаграмме статической остойчивости, исходя из следующего соображения. Интегралы, приведённые в формуле (2), являются площадями фигур 0BDE и 0ACDE (рис.2), ограниченных справа абсциссой . Так как дважды заштрихованная площадь 0ADE – общая для обеих фигур, можно приравнять площади треугольников 0ВА и ACD. Таким образом, чтобы найти динамический угол крена по диаграмме статической остойчивости, необходимо провести горизонтальную линию, соответствующую кренящему моменту (или его плечу) и вертикальную линию через такую точку, чтобы обеспечивалось равенство площадей треугольников 0ВА и ACD.

Рис. 2 Определение угла статического и динамического крена по диаграмме статической остойчивости.

 

Как мы видим, для одного и того же кренящего момента угол динамического крена будет значительно больше угла статического крена, то есть динамически приложенный кренящий момент гораздо опаснее такого же по величине, но приложенного статически. Максимальный динамически приложенный кренящий момент, который ещё способно выдержать судно до опрокидывания определяется из условия приравнивания площадей 0ВА и ACD так, чтобы не осталось не заштрихованных площадей между линиями кренящего и восстанавливающего моментов (смещения линии BD вверх и вниз (рис. 3)).

Рис. 3 Определение предельного динамического момента по диаграмме статической остойчивости.

 

Разница между предельным динамическим моментом и каким-либо меньшим по величине моментом характеризует запас динамической остойчивости.

При плавании судна в реальных условиях на него обычно действуют несколько кренящих моментов различной физической природы (от постоянно дующего ветра, шквала, волн и т.д.).

Судно плавает с начальным углом крена из-за смещения груза(статически приложенный момент). Подействовал динамически приложенный момент, например, от шквала. Для простоты считаем, что кренящие моменты не зависят от угла крена. Шквал может действовать на погруженный или на вышедший из воды борт (рис. 4а и 4б). Все построения выполняются от угла крена . Момент М₁ откладывается от момента М₀. Величины и измеряются от начала координат.

Рис. 4 Определение углов статического и динамического крена при одновременном действии моментов от смещения груза и от шквала.

 

На рис. 5 решается задача определения предельных моментов. Из рисунка видно, что при действии шквала на погруженный борт (рис. 5а) предельные статический и динамический моменты значительно больше, чем при его действии на вышедший из воды борт.

Рис. 5 Определение предельных моментов при одновременном действии смещения груза и шквала.

 

Судно плавает с начальным креном от постоянно дующего ветра. Подействовал динамически приложенный момент М₁ (рис.6). Из-за того, что оба момента имеют одну и ту же природу, момент от шквала не может суммироваться с моментом от постоянно дующего ветра, а может его только заменить. Постоянный ветер как бы мгновенно исчезает, причём у судна остаётся запас потенциальной энергии для перехода на такой же угол на противоположный борт. От этого угла и производятся все построения. При действии шквала на подветренный борт (рис. 6а) предельные моменты будут значительно меньше, чем при действии на наветренный борт (рис. 6б), так как в первом случае потенциальная энергия помогает судну опрокинуть судно, а во втором случае шквалу нужно эту энергию преодолевать.

 

Рис. 6 Определение углов статического и динамического крена при одновременном воздействии постоянного ветра и шквала.

 

Судно качается на взволнованном море с амплитудой качки . Подействовал шквал или динамически приложенный момент иной природы (рис. 7). Если судно наклонено навстречу шквалу (рис. 7а), то оно обладает потенциальной энергией от качки для перехода на другой борт, которая складывается с энергией шквала и помогает ему опрокинуть судно. В противном случае шквалу необходимо преодолевать энергию качки. Поэтому в первом случае предельные моменты гораздо меньше, чем во втором.

 

 

Рис. 7 Определение предельных моментов при одновременном воздействии на судно качки и шквала.

 

Решение задач по диаграмме динамической остойчивости.

Если кренящий момент не зависит от угла крена, то его работа будет равна:

 

.

То есть, работа кренящего момента – это линейная функция от угла крена. Если угол крена равен 1 радиан, то работа кренящего момента равна самому моменту. Работа восстанавливающего момента равна:

 

Динамический угол крена определяется в точке пересечения диаграммы динамической остойчивости (работы восстанавливающего момента) и графика (прямой) работы кренящего момента.

Статические углы крена определятся из равенства моментов:

 

 

То есть, для определения углов статического и динамического крена необходимо провести касательные к кривой Т_в параллельно прямой Т_кр.

Рис. 8 Определение статического и динамического углов крена по диаграмме динамической остойчивости.

 

Для нахождения предельного динамического момента необходимо построить касательную к диаграмме динамической остойчивости (рис. 9) из начала координат и измерить ординату на расстоянии 1 радиан от начала координат. Для нахождения предельного статического момента по диаграмме динамической остойчивости от точки её перегиба (точка А на рис.9) отмеряется расстояние в 1 радиан и измеряется расстояние ВС от прямой АВ, параллельной оси абсцисс.

Рис. 9 Определение предельных моментов по диаграмме динамической остойчивости.

 

Рассмотренные выше задачи на комбинации статически и динамически приложенных моментов также можно решать по диаграмме динамической остойчивости (рис. 10).

Рис. 10 Определение предельного динамического момента при наличии крена от дополнительного статически приложенного момента.