Теорема 2. Закон инерции квадратичных форм.

Определение 1

Функция f(x) называется линейной, если

1) f(x+y) = f(x)+f(y), ∀x,y ∈ L

2) f(λx) = λf(x), ∀x ∈ R, ∀λ ∈ R

Определение 2

Числовая функция (x;y) двух векторных аргументов x,y в пространстве из пространства L(P) называется билинейной, если она линейна по каждому аргументу, т.е.

1) (x+y,z) = (xz) + (yz), ∀x,y,z ∈ L

(λx;y) = λ (xy), ∀x,y ∈ L, ∀λ ∈ R

2) (x,y+z) = (x,y) +) (x,z), ∀x,y,z ∈ L

(x,yλ) = λ (xy), ∀x,y ∈ L, ∀λ ∈ R

 

Пусть в конечномерном пространстве c B { }

x=

y=

 

Ясно, что в силу условия 1 и 2:

(x,y) = (

, тогда получим (3)

Равенство (3) выражает функцию (x,y) в координатах в данном базисе.

Многочлен в правой части равенства (3) называют билинейным формой, поэтому саму функцию (x,y) также называют билинейной формой.

Числа называют коэффициентом билинейной формы в базисе B.

 

Квадратичная матрица А ,cоставленная из этих чисел, называется матрицей билинейной формы в базисе B.

Пусть x = y =

Тогда равенство (3) можно записать компактно

Определение 3

Билинейная форма называется симметричной, если ∀x,y ∈ L (x,y) = (y,x)

Перемена аргумента не меняет значение билинейной формы.

 

Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда симметрична её матрица =

 

Пусть в базисе B { } матрица билинейной формы - А, а в базисе B’ { } матрица билинейной формы -

 

Если Т - матрица перехода , то (6)

Формула (6) выражает матрицу билинейной формы в новом базисе, через матрицу этой формы в старом базисе и матрицу Т, с помощью которой происходит переход от старого к новому базису.

Определение 4

Квадратичной формой на действительном линейном пространстве называется числовая функция (x,x) от одного векторного аргумента x ∈ R из билинейной формы (x,y) заменой вектора у на вектор х.

Общий вид квадратичной формы в пространстве (R) есть (x,x) = (7)

(x,y) = (8)

В правой части равенства (8) нет подобных членов.

При переходе к равенству (7) в его правой части появляются подобные члены.

Например:

В равенство (8) и

При переходе к равенству (7) мы получим:

Таким образом, разные билинейные формы, у которых одинаковы все суммы приводят к одной и той же квадратичной форме.

Среди всех билинейных форм, дающих одну и ту же квадратичную форму, имеется симметричная билинейная форма. Эта симметричная билинейная форма определяется квадратичной формой однозначно.

Пусть (x,y) есть произвольная билинейная форма и пусть

Форма симметричная билинейная форма и

Рассмотренные нами обстоятельства позволяют при использовании линейных форм для изучения квадратных форм в действительном линейном пространстве ограничиться рассмотрением только симметричных билинейных форм.

 

Будем считать, что матрица квадратичной формы – симметрична.

Квадратичная форма (x,x) в действительном пространстве имеет вид (7), причем коэффициенты зависят от выбора базиса.

Оказывается, что можно подобрать такой базис, в котором матрица квадратичной формы имеет вид

А= , а значит (9), где - координаты вектора х в новом базисе.

Так, вид (9) называют каноническим видом квадратичной формы, а базис, в котором форма принимает вид (9), называют каноническим базисом.

Наиболее известным методом приведения квадратичной формы к каноническому виду является метод Лагранжа.

Итак, пусть (x,x) = - действительная квадратичная форма с симметричной матрицей.

Допустим:

1)

Сделаем вспомогательные преобразования переменных:

Будем считать, что в квадратичной форме есть отличные от 0 коэффициенты и пусть ≠0, тогда , сл-но

 

, т.е. в квадратной форме появились квадраты координат с отличными от 0 коэффициентами.

2) Пусть

Выберем все члены, содержащие

Выделим здесь полный квадрат и представим это выражение в виде:

, где ((…) многоточием) обозначены члены, не содержащие , тогда

, где - квадратичная форма, не содержащая .

Сделаем преобразование переменных

,

Тогда получим , где - квадратичная форма, содержащая только , сл-но один квадрат выделен.

Форме можно также применить указанные выше преобразования. В результате выделится ещё один квадрат и т.д.

После применения конечного числа раз аналогичных преобразований, мы придем к тому, что исходная квадратичная форма в новом базисе будет приведена к каноническому виду.

Пример

Привести к каноническому виду квадратичную форму f (x,x) = и указать соответствующее невырожденное преобразование переменных.

Решение

Т.к. в заданной квадратичной форме нет квадратов переменных, то

 

 

Тогда

 

f= , при ; ;

 

Каждую квадратичную форму можно не одним способом привести к каноническому виду по методу Лагранжа.

Пусть квадратичная форма f (x,x) двумя способами приведена к каноническому виду.

 

Теорема 2. Закон инерции квадратичных форм.

Число положительных и отрицательных квадратов в каноническом виде квадратичной формы f (x,x) не зависит от выбора канонического базиса.

Ø Теорема 2 позволяет дать следующие определения:

Определение 1

Число положительных квадратов в каноническом виде квадратичной формы называется положительным индексом инерции о обозначается .

Определение 2

Число отрицательных квадратов в каноническом виде квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции и обозначается .

Определение 3

Сумма положительных и отрицательных индексов инерции квадратичной формы называется рангом квадратичной формы и обозначается r = + .

В силу Теоремы 2, ранг квадратичной формы не зависит от выбора базиса и может быть найден, если квадратичная форма приведена к каноническому виду. Однако, для нахождения ранга в этом приведении нет необходимости, как показывает Теорема 3.

Теорема 3

Ранг квадратичной формы равен рангу коэффициентов этой формы при любом выборе базиса.

Определение 4

Квадратичная форма называется невырожденной, если её ранг равен размерности пространства.

Определение 5

Квадратичная форма называется положительно определенной, если f(x,x)>0,

Заметим, что f .

Определение 6

Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если f(x,x)<0,

Понятно, что достаточно рассматривать положительно определенные квадратичные формы, т.к. отрицательно определенные получаются из них сменой знака.

Ø Пусть квадратичная форма задана в n-мерном действительном пространстве и

пусть в базисе В { } , где .

Ø Укажем ряд простых необходимых признаков положительной определенности

квадратичной формы:

1) Если f(x,x) положительна определена, то , i=1,2,…,n.

2) Если f(x,x) положительна определена, то определитель её матрицы положителен.

3) В n–мерном пространстве каждая положительно определенная форма имеет

ранг – r.

Все эти признаки достаточными условиями положительной определенности квадратичной формы не являются.

 

 

 

Справедлива Теорема «Критерий Сильвестра»

Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы были положительны.

Для отрицательной определенности необходимо и достаточно, чтобы знаки последовательных главных миноров её матрицы чередовались, начиная со знака .

 

Поясним, что такое главные миноры матрицы.

; ;

 

- главный минор первого порядка

- главный минор второго порядка

- главный минор третьего порядка

 

Главный минор n–го порядка стоит на пересечении первых n–строк и первых n–столбцов матрицы.

 

Пример

Является ли квадратичная формa положительно определенной.

Решение

Составим матрицы квадратичной формы и вычислим её последовательные главные миноры.

Коэффициенты при квадратах идут по главной диагонали, остальные коэффициенты делятся пополам и расставляются симметрично.

; ;

Все главные миноры положительные, сл-но по Критерию Сильвестра - квадратичная форма положительно определена.

 

Пример

При каких значениях параметра квадратичная форма положительно определена?

Составляем матрицу квадратичной формы:

. -2<x<2

Ø

Вывод: Ни при каких значениях , квадратичная форма положительной не является.