Требования к математическим моделям

Чтобы разрабатываемая математическая модель какого-либо процесса, системы или явления точно могла претендовать на то, чтобы быть инструментом исследовательского процесса, нужно, чтобы она удовлетворяла ряду требований.

Рассмотрим основные из них.

Адекватность модели. Наиболее важным требованием, предъявляемым к математической модели является требование ее адекватности (правильного соответствия) изучаемому реальному объекту A относительно выделенной системы S его свойств. То адекватность модели можно сравнить с соответствием результатов, получаемых с помощью математической моделью и эксперимента. Термин "соответствие" в данной теме является достаточно расплывчатым, и для его конкретизации обычно говорят о количественном и качественном соответствии. Верное качественное соответствие модели дает возможность на основании исследования модели сделать верный вывод о устойчивости ее состояния или стационарности исследуемых процессов, о направлении изменения (спаде или росте) каких-либо количественных характеристик изучаемой системы, о характере поведения системы. Правильное качественное соответствие – обязательный, низкий уровень адекватности модели. Как правило требование соответствия подразумевает и правильное количественное описание поведения системы. Последнее значит совпадение результатов с некоторой разумной точностью. В зависимости от исходных требований, предъявляемых к результатам исследования, говорят о количественных или качественных моделях.

За счет отказа от гипотезы независимости осцилляторов, Дебаю удалось добиться количественного согласия с опытом, то есть количественной адекватности. Дебай предположил, что атомы колеблются согласованно (не независимо, но и не синхронно), принимают участие в поддержании огромного числа упругих волн (мод), распределяющихся в кристалле. Применив идею квантования энергии не к отдельному атому, а к упругой волне и, сделав некие упрощающие предположения относительно закона распространения этих волн, Дебай получил правильную количественную оценку для теплоемкости кристалла при низких температурах (закон Дебая). Можно выделить, что модель Дебая обладает количественной адекватностью. Но следует помнить, что всякая адекватность математической модели реальному объекту лишь относительна, имеет свои пределы. Эти пределы определены границами применимости рабочих гипотез, использованных при построении модели. Приписывание реальному объекту свойств модели в области значений параметров, когда рабочие гипотезы не справедливы, может привести к серьезным ошибкам. Требование достаточной простоты.

Требование адекватности направлены на построение сложных моделей, предельно учитывающие факторы, способные в той или иной степени повлиять на изучаемые свойства. Но, данный подход к задаче встречает крупные проблемы на этапе исследования модели, анализа ее поведения. Преувеличенное усложнение модели, "засорение" ее массой мелких, второстепенных деталей может привести к объемным системам уравнений, не поддающимся изучению и решению. Существование огромного числа параметров, допускающих вариацию в процессе исследования модели, делает труднообозримыми результаты, полученные численными методами. Следовательно, мы приходим к требованию достаточной просты модели по отношению к исследуемой системе ее свойств. Будем считать, что модель является достаточно простой, если современные средства исследования дают возможность провести экономно по затратам труда и средств, но с разумной точностью качественный или количественный анализ (в зависимости от постановки задачи) анализ исследуемых свойств и осмыслить результат. Понятно, что требование достаточной простоты модели в определенном смысле вступает в противоречие с требованием ее адекватности: обычно, чем модель более адекватна, тем она менее проста и тем труднее ее анализ. Как следствие, при построении математической модели прикладного математика подстерегают две опасности: первая - увязнуть в подробностях и вторая - слишком огрубить явление.

Компромиссом в этом вопросе является основной этап построения математической модели, для его поиска нельзя написать алгоритм, это искусство, и опыт в нем приобретается постепенно. Главное требование связано с полнотой математической модели, состоящей в завершенности постановки математической задачи, то есть в том, что созданная математическая модель дает принципиальную возможность с помощью математических методов получить интересующую информацию об исследуемой системе. Можно заметить, что решение математической задачи только "визуализирует", информацию делает доступной, замаскированную в условии задачи, и полнота математической модели значит только то, что интересующие нас свойства присутствуют в модели. Довольно часто в прикладных задачах математическое моделирование выступает альтернативой к натурному эксперименту. При этом преимущество модельного подхода определяется экономическими соображениями. Изучаемая система, которую мы собираемся исследовать методами математического моделирования, характеризуется различными параметрами, такими как, например, линейный размер, масса и так далее. Система характеризуется определенными функциональными соотношениями между параметрами, которые считаются заданными. Это все - функциональные зависимости и параметры образуют исходные данные модели. Для решении определенной задачи эти исходные данные должны быть известны, то есть предполагается, что они могут быть найдены в справочной литературе, получены из эксперимента либо рассчитаны. При этом, если речь идет об измерениях, то исходные данные должны легче поддаваться измерению, чем данные, которые получаются при моделировании. В противном случае исследование модели теряет смысл[4].

Можно сделать вывод, о том что к математическим моделям применяются очень строгие и четкие требования, которые необходима выполнять для достижения результатов в научной и практической деятельности.