Короткі теоретичні відомості. Розрахунок перехідних процесів в

Короткі теоретичні відомості

Перехідні процеси відповідають узагальненому станові системи й опису­ються інтегродиференційними та скінченними рівняннями, часткове розв’язан­ня яких відповідає усталеному режимові ЕЕС.

Електромагнетні й електромеханічні явища ЕЕС та їхніх елементів у загальному випадку описують нелінійними інтегродиференційними та скінчен­ними рівняннями.

Рівняння лінійні зі сталими коефіцієнтами, коли не враховуються залеж­ності параметрів систем від інтенсивності процесів і зі змінними коефіцієнтами, якщо параметри елементів є функціями часу.

досліджуючи електромагнетні процеси у ЛЕП, необхідно враховувати роз­поділеність параметрів, що приводить до диференційних рівнянь стану в часткових похідних (гіперболічного типу). коли розв’язуються задачі на підставі теорії елект­ромагнетного поля, рівняння стану також диференційні у часткових похідних.

Під час аналізу ЕЕС та їхніх елементів виникають дві основні задачі:
1) визначення кількісних характеристик явищ, точніше встановлення в тій чи іншій формі залежності фізичних величин у часі та просторі; 2) вивчення переважно якісної картини явищ – стійкості режимів ЕЕС.

Загальним випадком звичайних диференційних рівнянь є система рівнянь першого порядку, яку можна записати у вигляді неявного векторного диферен­ційного рівняння

(1.1)

де – вектор-функція від вектора змінних його похідних за аргументом а також самого аргументу

Рівняння може бути зведене до явної форми чи нормальної форми Коші, коли існує його розв’язання відносно похідних

(1.2)

Диференційне рівняння однієї змінної -го порядку, увівши нові змінні, завжди можна звести до системи диференційних рівнянь першого порядку. Наприклад, диференційне рівняння -го порядку

(1.3)

можна звести до рівнянь, записаних у нормальній формі Коші, з уведенням нових змінних

(1.4)

одержуємо еквівалентну систему диференційних рівнянь, записаних у нормальній формі Коші

(1.5)

Очевидно, подібним способом можна звести до системи рівнянь першого порядку й систему, яка містить в окремих рівняннях похідні вищих порядків.

Деякий багатовимірний вектор

(1.6)

який задовольняє рівняння називається його розв’язанням.

Щоб виділити одне конкретне розв’язання, необхідно задати додаткові умови. Розв’язання диференційних рівнянь можна отримати тільки з точністю до довільної сталої, тобто таких розв’язань є велика кількість.

Додаткові умови для нелінійного рівняння

(1.7)

де а задача розв’язання називається крайовою задачею.

Якщо додаткові умови виражені так

(1.8)

то це задача Коші й умови (1.8) є початковими умовами.

Умови існування та єдиності розв’язання задачі Коші визначаються умо­вами Ліпшица: якщо вектор-функція в області неперервна за і має непе­рервні часткові похідні першого порядку за змінними то для кожної системи значень існує єдине розв’язання рівняння яке визначене в деякому інтервалі і відповідає умові

Будь-яке розв’язання рівняння можна записати у вигляді рівняння

(1.9)

яке має нескінченну кількість розв’язань. Якщо сталій інтегрування надати будь-яких числових значень, одержимо часткові розв’язання. Графік будь-якого розв’язання диференційного рівняння називають інтегральною кривою. залежно від числового значення сталої інтегрування отримуємо сім’ю інтегральних кривих Задання початкових умов означає задання точки через яку повинна проходити інтегральна крива, що відповідає розв’язанню рівняння Отже, розв’язання рівняння за початковими умовами геометрично означає, що із сім’ї інтегральних кривих вибираємо криву, яка проходить через точку Ділимо інтервал на рівних частин і для прикладу на інтервалі матимемо

(1.10)

де за та

Розв’язання диференційних рівнянь у часткових похідних для загального випадку зводиться також до крайової задачі й задачі Коші.

Методи розв’язання диференційних рівнянь поділяються на прямі та наближені. Прямі – це аналітичні. Наближені – наближені аналітичні методи, графічні, числові.

Приклади розрахунку

Розрахувати перехідний процес в електричному кілі (рис 2.1) явними та неявними методами.

Явні методи

Приклад 1. Метод Ейлера.

Обчислити методом Ейлера струми та напругу на ємності в електричному колі (рис. 2.1), яке в момент часу вмикається на ЕРС для інтервалу часу Параметри схеми: До моменту комутації струми в індуктивностях та напруга на ємності

Розв’язання.

Для забезпечення невеликої локальної похибки приймаємо крок інтегрування

Записуємо на підставі законів Кірхгофа рівняння, які описують стан електрич­ного кола, у нормальній формі Коші

Розрахунок виконуємо за формулами

Перша ітерація.

Друга ітерація.

Третя ітерація.

Використовуючи символьну математику MathCad, обчислюємо значення струмів у вітках електричного кола та напругу на ємності, залежності яких показані на рис. 2.2 та рис. 2.3 відповідно.

Рис. 2.2. Струми у вітках електричного кола під час вмикання

його на синусоїдну ЕРС

Рис. 2.3. Напруга на ємності ◄