Методические указания по выполнению контрольной работы. К задачам 1 10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2

 

К задачам 1…10. решение этих задач можно начинать после изучения тем I.I и I.2. В этих задачах рассматривается тело, находящееся в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил. Существует три метода решения подобных задач:

1) аналитический, заключающийся в составлении двух уравнений равновесия: Fìх = 0 (1); ∑ Fìy = 0 (2);

2) графический – путем построения в принятом масштабе сил замкнутого силового многоугольника;

3) графоаналитический – путём построения замкнутого силового треугольника без соблюдения масштаба с последующим определением неизвестных сил с помощью тригонометрических соотношений.

Наиболее универсальным методом решения задач на равновесие сходящихся сил является аналитический метод. Графоаналитическим методом можно решать подобные задачи, если в рассматриваемой системе действуют три силы. Точность решения задачи графическим методом зависит от точности соблюдения масштаба сил и направлений их действия при построении силового многоугольника.

Рекомендуется решать задачу аналитически, а затем проверить правильность решения графоаналитическим или графическим методами.

Последовательность решения задачи:

выбирается тело (точка), равновесие которого рассматривается;

это тело освобождается от связей и их действие заменяется реакциями, причём на схеме изображаются действующие активные силы и силы реакций;

выбирается система координатных осей, причём её начало совмещается с точкой, равновесие которой рассматривается, и составляются два уравнения равновесия;

определяются неизвестные силы путём решения составленных уравнений равновесия;

проверяется правильность определения неизвестных сил путём решения задачи другим, не использованным при вычислении неизвестных сил, методом.

Пример 1. К стержню АВ, (рис. 1,а) поддерживаемому в равновесии тросом, перекинутым через блок С, подвешен груз F = 2кН. Определить усилие, возникающее в стержне АВ, и вес груза G, натягивающего трос.

Решение. Решение задачи проводим аналитическим методом, Рассмотрим равновесие точки всех сил А, отбросив связи и заменив их действие реакциями. Рассматриваемая точка А находится в равновесии под действием трёх сил:

силы тяжести груза F реакции R_АВ стержня АВ и реакции G троса АС, равной весу груза F. Трос АС – растянут, поэтому направляем вектор, изображающий силу G от точки А, вектор R_АВ направляем также от точки А, предполагая, что стержень АВ растянут. (В случае, если это предположение окажется неверным, то искомая реакция стержня, получится в ответе со знаком минус, показывая, что стержень сжат, а истинное направление реакции – к точке А). Расчётная схема показана на рис. 1,б.

Принимаем точку А за начало координат и направляем через неё горизонтально ось Х, а перпендикулярно – ось У (см. рис 1,б).

Составляем два упражнения равновесия для полученной плоской системы сходящихся сил:

∑Fix = 0; R_АВ · sin 45^o- G sin 30^o = 0 (1); R_{AB ·} 0,707 – G × 0,5 = 0

∑Fiy = 0; R_АВ · cos 45^o+ G cos 30^o-F = 0 (2); R_{AB ·} 0,707 + G × 0,866 - 2 = 0

Решаем полученную систему.

Выражаем из уравнения (1) R_АВ; R_{AB =} и подставляем в уравнение (2):

; ;

Подставляем найденное значение в уравнение (1) и получаем:

_{АВ ·}0,707 – 1,46 _· 0,5 = 0, откуда R_AB = = 1,03 кН.

 

А)

Б)

В)

 

 

Рис. 1

 

Обе полученные реакции оказались положительными. Это указывает на то, что выбранное направление силы R_AB – верное, т.е. стержень растянут.

Необходимо отметить, что каждое из составленных уравнений равновесия содержало оба неизвестных, чего можно было бы избежать, направив иначе координатные оси, т.е. проведя одну из осей (например, ось Х) по направлению действия неизвестной силы (например, вдоль стержня АВ), а другую ось – перпендикулярно.

Правильность решения проверяем графоаналитическим методом с использованием тригонометрических соотношений. Для этого строим замкнутый силовой треугольник (рис.!,в); проводим из произвольной точки С вертикально вниз вектор заданной силы F, через начало и конец которого проводим известные направления реакции R_АВ стержня и силы натяжения троса G.

Построенный силовой треугольник сbа решаем, используя теорему синусов:

= =

 

Из решения пропорций находим:

= = 1,46кН

 

Таким образом, убедились, что G и R_AB определены верно.

 

Пример 2. Под действием горизонтальной силы F = 7,5H (рис. 2а.) тело перемещается равномерно вверх по наклонной плоскости.

Определить вес тела и нормальную реакцию наклонной плоскости, если сила трения

R_f = 1,5 H.

Решение. Проводим решение задачи аналитическим методом. Рассмотрим равновесие тела на наклонной плоскости, заменив действие связей на их реакции.

В точке 0 сходятся линии действия всех действующих на тело сил – вес тела G, горизонтальной силы F, силы трения R_f, направленной вдоль наклонной плоскости вниз и нормальной реакции R_h, перпендикулярной наклонной плоскости.

Расчётная схема показана на рис. 2,б.

Рис. 2

 

Совместим ось Х с направлением наклонной плоскости, а ось У с направлением неизвестной силы R_n=

Составляем два уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил:

 

∑F_ix = 0; F cos 30^o – R_f – Gsin30^o = 0 (1)

7,5 · 0,866 – 1,5 –G · 0,5 = 0

 

∑F_iy = 0; R_n – G cos 30^o – F sin 30^o = 0 (2)

R_n – G · 0,866- 7,5 · 0,5 = 0

Определяем неизвестные силы G и R_n решаем полученную систему уравнений.

Из уравнения (1): G = (7,5 × 0,866 – 1,5)/0,5» 10 Н.

Подставляем найденное значение G в уравнение (2) и получаем:

R_n = G · 0,866 + 7,5 · 0,5 = 10 · 0,866 + 7,5 · 0,5 = 12,41 H.

Оба полученных результата – положительны, т.е. выбранные направления сил оказались верными.

Правильность решения задач проверим, определив неизвестные силы графически. Так как система сходящихся сил (рис. 1,б) находится в равновесии, то силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, должен быть замкнутым. Выбираем масштаб сил (например µ_F = 4 ) и строим силовой многоугольник в выбранном масштабе (рис. 2в): от произвольной точки aоткладываем заданную силу F , затем из точки b под углом 30^о к горизонту откладываем известную силу R_f , далее из точек a и cпроводим прямые, параллельные направлениям сил G и R_n.Эти прямые пересекаются в точке d;в результате построения получили силовой многоугольник abcd, в котором сторона , а сторона .

Измерив длины этих сторон (в см.) и умножив на принятый масштаб сил µ_F , получим величины сил:

G = cd _· µ_F = 2,6 · 4» 10,4 H

R_h = d _· a _· µ_{F =} 3,2 · 4» 12,8H

т.е. примерно такие же значения, как и при аналитическом решении. Необходимо учитывать, что точность графического решения выше, чем точнее выполнено графическое построение и чем крупнее выбран масштаб построения.

К задачам 21…30. Решение этих задач можно начинать изучения тем 1.3. и 1.4. и повторения вопросов, касающихся определения направлений реакций, возникающих в наиболее часто встречающихся видах связей и балочных системах.

 

В задачах 21…30 требуется определить опорные реакции консольной балки, т.е. балки с одной опорой в виде жесткого защемления. Для такой балки наиболее целесообразно составить уравнение равновесия в форме:

∑F_IX = 0 (1); ∑F_IУ = G (2); ∑М_А = 0 (3),

где за центр моментов принять точку в месте защемления. Проверка правильности решения задачи проводится составлением уравнения равновесия моментов всех сил относительно любой другой точки.

Приобретение твердых навыков в определении опорных реакций в жестко защемленных и двухопорных балках необходимо. т.к. именно с этого начинается решение многих задач, рассматриваемых в сопротивлении материалов и деталях машин.

Последовательность решения задачи:

вычерчивается балка с приложенными к ней нагрузками;

выбирается направление осей координат, причем горизонтальная ось Х направляется вдоль оси балки, а ось У – ей перпендикулярна;

балка освобождается от опор, и их действие заменяется опорными реакциями, направленными вдоль осей координат с реактивным моментом;

составляются уравнения равновесия, желательно так, чтобы в каждом из составленных уравнений было бы не более одной неизвестной величины;

определяются неизвестные величины реакций путём решения составленных уравнений равновесия;

проводится проверка вычисленных результатов путём составления дополнительного уравнения, которое не было использовано для определения неизвестных реакций.

Пример 4. Определить опорные реакции, возникающие в консольной балке (рис.4).

Решение. Рассмотрим равновесие жестко защемленной балки с заданными нагрузками. Вычерчиваем эту балку с приложенными к ней силами F₁, F₂ и моментом М. Направляем ось Х вдоль оси балки и перпендикулярно к ней – ось У (рис.4,а) и выбираем центр вращения т.А.

Отбрасываем связь (заделку) и заменяем её действие реакциями – реактивным моментом М_R и составляющими реакциями R_x и R_y по осям координат. Расчетная схема показана на рис. 4,б

а) б)

 

Рис. 4

 

Для получения плоской системы произвольно расположенных сил составляем три уравнения равновесия:

; - М_R + F₂^. AB – M + F_1y^. AD = 0

- M_R + 9^.1-7+4^.4 =0 (1)

; F_ix – R_x = 0; 6,93 – R_x = 0 (2)

; R_y – F₂ – F_iy = 0; R_y- 9 – 4 = 0 (3)

Определяем опорные реакции жестко защемленной балки, решая составленные уравнения равновесия.

Из уравнения (1): M_R = 9 ^. 1 – 7 = 4 ^. 4 = 9 – 7 + 16 = 18 kHм;

Из уравнения (2): R_x= 6,93 kH;

Из уравнения (3): R_y = 9 + 4 = 13 kH.

Проверяем правильность найденных результатов, составив проверочное уравнение равновесия:

= R_y ^. AD – M_R – F₂^.BD – M = 13 ^. 4 – 18 – 9 ^. 3 – 7 = 52 – 52 = 0.

Условие равновесия = 0 выполняется, следовательно, реакции опор определены верно.

 

К задачам 41…50. К решению этих задач следует приступить после изучения темы "Центр тяжести" и разбора примера. С целью упрощения решения следует стремиться разбить заданное сложное сечение на возможно меньшее число простых фигур. Пример 6. (рис.6) Для заданного п лоского сечения (тонкой однородной пластины) определить положение центра тяжести. Рис. 6

Решение. 1. Разбиваем сложное сечение пластины на простые фигуры: I – прямоугольник, II- круг, III – треугольник.

2. Определяем положение центра тяжести каждой простой фигуры С₁, С₂, С₃.

3. Выбираем вспомогательную ось у_i так, что всё сечение будет находиться в первой четверти.

4. Определяем площади поперечного сечения каждой простой фигуры А₁,

5. Определяем расстояние Х₁, Х₂, Х₃ от центра тяжести каждой простой фигуры до вспомогательной оси У_i

А₁ = 310 ^.120 = 37200 мм² Х_{1 =}

А₂ = Х₂ = 80 мм

А₃ = Х₃ = 210 мм.

6. Так как сечение имеет одну ось симметрии (горизонтальную, то координату у₂ определять не надо.

7. Координата центра тяжести Х_С определяем по формуле:

 

8. По полученным координатам Х_С, У_С находим центр тяжести плоского сечения С. Вывод: Таким образом, плоская однородная пластина имеет координаты центра тяжести С (167мм; 0).