абораторная работа №2. Исследование двумерных преобразований графических объектов.

Целью работы являетсязакрепление на практике знаний математического аппарата, положенного в основу двумерных преобразований графических объектов (на примере преобразований треугольников).

Теоретическая справка. При двумерных преобразованиях графических объектов каждая точка P (x, y) на плоскости однозначно отображается содержащей однородные координаты этой точки матрицей (координатным вектором) размером 1´3 вида . Отрезку прямой между точками (x₁, y₁) и (x ₂ , y₂) ставится в соответствие 2´3 матрица вида . Многоугольник может быть представлен M ´3 матрицей (где M – число вершин многоугольника), содержащей однородные координаты его вершин: . Преобразования осуществляются путем умножения таких матриц на матрицу общего преобразования размером 3´3 вида . Результат преобразования зависит от конкретного вида матрицы преобразования. Если координатный вектор преобразованной точки содержит h ≠ 1 и h ≠ 0, результат нормализуют путем деления всех трех составляющих однородных координат на h, т.е. приводят к виду , где x* = x¢/h, y* = y¢/h. Равенство нулю координаты h в результате матричного умножения (координатный вектор преобразованной точки при этом имеет вид ) свидетельствует о том, что исходная точка преобразована в точку бесконечности, лежащую на луче, который идет из начала координат через точку (x¢, y¢).

Матрицы простых двумерных преобразований графических объектов представлены в приложении 1.

Ряд последовательных преобразований объекта можно комбинировать: предварительно рассчитав матрицу полного преобразования путем перемножения в строгой последовательности матриц отдельных преобразований, применить ее для преобразования исходного объекта.

Рекомендации по выполнению лабораторной работы:

1. Согласуйте с ведущим преподавателем номер варианта, в соответствии с которым вы будете проводить исследования. Варианты заданий представлены в таблице 1. Ознакомьтесь с данным вариантом задания (с рекомендуемыми значениями координат вершин исходного треугольника и – при выполнении соответствующих пунктов программы – коэффициентов матрицы общего преобразования или иных параметров преобразования).

2. Осуществите следующие преобразования исходного треугольника, удаляя каждый раз перед очередным преобразованием результат предыдущего^[1]:

a) локальное масштабирование по координатным осям x и y, используя одну матричную операцию;

b) симметричное отражение относительно оси x (или y);

c)симметричное отражение относительно точки начала координат (поворот на 180 °);

d) сдвиг вдоль оси x пропорционально координате y (или вдоль оси y пропорционально координате x);

e)поворот на 90 ° (или на – 90 °) относительно точки начала координат;

f) поворот на угол q относительно точки начала координат;

g) отражение относительно прямой линии у = x (или у = – x);

Сформулируйте вывод относительно назначения коэффициентов левой верхней 2´2 подматрицы матрицы общего преобразования.

3. Реализуйте перемещения исходного треугольника вдоль координатных осей x и y, используя одну матричную операцию.

Сформулируйте вывод относительно назначения коэффициентов левой нижней 1´2 подматрицы матрицы общего преобразования.

4. Осуществите поворот исходного треугольника вокруг точки с координатами (m,n) на угол q, используя при этом следующие последовательные преобразования:

a) переместите объект преобразования таким образом, чтобы точка, относительно которой совершается поворот, попала в начало координат;

b) выполните поворот объекта на требуемый угол вокруг точки начала координат;

c)осуществите обратное (по отношению к п/п. a) перемещение объекта.

5. Рассчитайте матрицу полного преобразования, реализованного в предыдущем пункте. Примените ее для преобразования исходного треугольника. Сравните результаты, полученные в настоящем и предыдущем пунктах.

Сформулируйте вывод о возможных путях реализации комбинаций двумерных преобразований.

6. Реализуйте симметричное отражение исходного треугольника относительно прямой линии , используя при этом следующие последовательные преобразования:

a) переместите объект преобразования вдоль оси x или y таким образом, чтобы прямая, относительно которой он отражается, прошла через точку начала координат;

b) поверните объект вокруг точки начала координат до совпадения прямой, относительно которой он отражается, с координатной осью x или y;

c) симметрично отразите объект относительно той оси, с которой в п/п. b совмещена прямая;

d) осуществите обратный (по отношению к п/п. b) поворот объекта;

e) осуществите обратное (по отношению к п/п. a) перемещение объекта.

7. Осуществите те же последовательные преобразования исходного треугольника, что и в пункте 6, но поменяв местами п/п.п. d и e. Сравните результаты полных преобразований, полученные в настоящем пункте и в пункте 6.

Сформулируйте вывод относительно коммутативности операции умножения матриц и, соответственно, о правилах реализации комбинаций преобразований.

8. Реализуйте по отношению к исходному треугольнику проецирование в однородных координатах.

Сделайте выводы о геометрическом смысле проведенного преобразования и процедуры нормализации результата умножения матриц. Сформулируйте также вывод относительно назначения коэффициентов правой верхней 2´1 подматрицы матрицы общего преобразования.

9. Осуществите общее масштабирование исходного треугольника.

Сформулируйте вывод относительно назначения коэффициента правой нижней 1´1 подматрицы матрицы общего преобразования.

10. Реализуйте преобразование исходного треугольника, используя матрицу общего преобразования со значениями коэффициентов p и q, приведенными в последнем пункте варианта задания.

Сформулируйте вывод относительно результата преобразования третьей вершины треугольника.

 

Таблица 1.

Дисциплина: «Компьютерная графика»
Лабораторная работа №2 Вариант задания №1
Координаты вершин исходного треугольника
x1 = 20; y1 = 10; x2 = 40; y2 = 70; x3 = 100; y3 = 50
Пункт/подпункт программы работ	Параметры преобразования
2a	a = 2; d = 1,5 *
2d	c = 2 (или b = 1,5) *
2f	q = 50°
	m = 60; n = –80 *
	m = 10; n = 60; q = –75°
	k = 0,5; y0 = 60
	p = 0,005; q = 0,002 *
	s = 0,6 *
	p = – 0,02; q = 0,02 *
* Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1)

 

 

Дисциплина: «Компьютерная графика»
Лабораторная работа №2 Вариант задания №2
Координаты вершин исходного треугольника
x1 = 10; y1 = 20; x2 = 60; y2 = 130; x3 = 170; y3 = 50
Пункт/подпункт программы работ	Параметры преобразования
2a	a = 1,5; d = 2 *
2d	c = 0,5 (или b = 1,5) *
2f	q = 70°
	m = 75; n = –140 *
	m = 20; n = 140; q = –85°
	k = 0,185; y0 = 130
	p = 0,003; q = 0,002 *
	s = 0,7 *
	p = – 0,01; q = 0,014 *
* Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1)
Дисциплина: «Компьютерная графика»
Лабораторная работа №2 Вариант задания №3
Координаты вершин исходного треугольника
x1 = 0; y1 = 0; x2 = –160; y2 = –170; x3 = –60; y3 = –170
Пункт/подпункт программы работ	Параметры преобразования
2a	a = 2; d = 1,5 *
2d	c = –2 (или b = –3) *
2f	q = –41°
	m = 190; n = 50 *
	m = 40; n = 70; q = –65°
	k = 1,06; y0 = –140
	p = 0,006; q = –0,009 *
	s = –0,8 *
	p = –0,006; q = 0,008 *
* Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1)

 

 

Дисциплина: «Компьютерная графика»
Лабораторная работа №2 Вариант задания №4
Координаты вершин исходного треугольника
x1 = –90; y1 = 10; x2 = 40; y2 = 170; x3 = 150; y3 = 50
Пункт/подпункт программы работ	Параметры преобразования
2a	a = 1,7; d = 2 *
2d	c = –1,5 (или b = 0,8) *
2f	q = –67°
	m = –160; n = –200 *
	m = 40; n = 170; q = –72°
	k = 0,163; y0 = 175
	p = – 0,001; q = 0,003 *
	s = 0,65 *
	p = – 0,01; q = 0,01 *
* Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1)
Дисциплина: «Компьютерная графика»
Лабораторная работа №2 Вариант задания №5
Координаты вершин исходного треугольника
x1 = –50; y1 = 60; x2 = –80; y2 = –100; x3 = 140; y3 = 120
Пункт/подпункт программы работ	Параметры преобразования
2a	a = 2; d = 2*
2d	c = 1,4 (или b = 1,6) *
2f	q = 38°
	m = 90; n = –140 *
	m = 40; n = 120; q = –88°
	k = 1; y0 = –60
	p = –0,001; q = 0,002 *
	s = 2 *
	p = –0,02; q = 0,015 *
* Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1)

 

 

Дисциплина: «Компьютерная графика»
Лабораторная работа №2 Вариант задания №6
Координаты вершин исходного треугольника
x1 = –165; y1 = –70; x2 = –70; y2 = –150; x3 = 160; y3 = –40
Пункт/подпункт программы работ	Параметры преобразования
2a	a = 1,5; d = 1,5 *
2d	c = –2 (или b = 0,5) *
2f	q = 55°
	m = 70; n = 150 *
	m = –50; n = –200; q = –53°
	k = 0,0925; y0 = –180
	p = –0,0001; q = 0,0009 *
	s = 0,6 *
	p = –0,005; q =0,005 *
* Значения остальных коэффициентов матрицы общего преобразования следует принимать такими же, как в матрице тождественного преобразования (см. приложение 1)