Задания для контрольной работы.

1. На плоскости даны два вектора и . Найти разложение вектора по базису и .

2. Даны три вектора и . Найти разложение вектора по базису .

3. Даны три вектора , . Найти разложение вектора по базису

4. Даны четыре вектора: . Найти разложение вектора по векторам .

5. Векторы и образуют угол ; зная, что , найти скалярное произведение векторов и .

6. Найти скалярное произведение векторов и , если и .

7. Известно, что | |=3, | |= 4; . Вычислить: скалярное произведение векторов и .

8. Векторы и образуют угол ; зная, что , найти скалярное произведение векторов и .

9. Даны вершины треугольника А (2, –5), В (1, –2), С (4, 7). Вычислить координаты центра тяжести этого треугольника. Найти длину медианы АМ.

10. Даны вершины треугольника А (–1, –1), В (3, 5), С (–4, 1). Вычислить координаты центра тяжести этого треугольника. Найти длину медианы ВМ.

11. Даны вершины треугольника А (1, 4), В (3, –9), С (–5, 2). Вычислить координаты центра тяжести этого треугольника. Найти длину медианы АМ.

12. Даны вершины треугольника А (3, –1), В (1, 1), С (2, 3). Вычислить координаты центра тяжести этого треугольника. Найти длину медианы ВМ.

13. Точка делит отрезок АВ в отношении . Найти координаты точки В, если .

14. Точка делит отрезок АВ в отношении . Найти координаты точки А, если .

15. Отрезок АВ двумя точками разделен на три равные части. Определить координаты точек деления, если , .

16. Точка делит отрезок АВ в отношении . Найти координаты точки В, если .

17. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13.

18. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами 24, а эксцентриситет равен .

19. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если она имеет асимптоты и расстояние между фокусами равно 20.

20. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если расстояние между директрисами равно и эксцентриситет равен .

21. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, парабола симметрична относительно оси Ох и проходит через точку А (1, 3).

22. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, парабола симметрична относительно оси Ох и проходит через точку А (–4, 2).

23. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, парабола симметрична относительно оси Оу и проходит через точку А (3, –5).

24. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, парабола симметрична относительно оси Оу и проходит через точку А (–2, 1).

25. Даны вершины треугольника АВС А (1;1;-2), В (1;1;0), С (-1;3;0). Вычислить длину его высоты АН. (Используя векторное произведение векторов)

26. Дан треугольник АВС, в котором А (-1;1;2), В (1;1;0), С (2;6;-2). Вычислить длину его высоты ВН. (Используя векторное произведение векторов)

27. Дан треугольник АВС, в котором А (-1;1;2), В (1;1;0), С (2;6;-2). Вычислить площадь треугольника АВС, длину высоты CH. (Используя векторное произведение векторов)

28. Дан треугольник АВС, в котором А (6;5;-1), В (12;1;0), С (1;4;-5). Вычислить площадь треугольника АВС, длину высоты CH. (Используя векторное произведение векторов)

29. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках

А (2;-1;0), В (5;4;3), С (3;1;-1) и D (4;-1;3).

30. Даны вершины тетраэдра: А (-2;3;0), В (4;2;-1), С (5;3;6), D (-4;-5;9). Найти длину его высоты, опущенной из вершины Д.

31. Объём тетраэдра V=7, три его вершины находятся в точках А(-2;0;-1), В(3;-1;1), С(2;-1;4). Найти координаты четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси Oу.

32. Даны вершины тетраэдра: А(7;5;-1), В(0;-2;1), С(2;-2;4), Д(-4;1;3). Найти длину его высоты, опущенной из вершины В.

33. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку с координатами М₁(3;-2;-7) и параллельно плоскости 2x-3z+5=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: 2x-y+3z-1=0, x+2y+z=0.

35. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁(2;-1;1) перпендикулярно к двум плоскостям: 2x-z+1=0, y=0.

36. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки

М₁(1;-1;-2) и М₂(3;1;1) перпендикулярно к плоскости x-2y+3z-5=0.

37. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М₁(-1;2;-3) параллельно прямой: .

38. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М₁(-4;-5;3) параллельно прямой:

39. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М₁(2;3;-5) параллельно прямой: x=3t-7, y=-2t+4, z=3t+4.

Составить каноническое уравнения прямой, которая проходит через точку М₀(3;-2;-4) параллельно прямой

40. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1)

2) x=2t-4, y=-t+4, z=-2t-1;

x=4t-5, y=-3t+5, z=-5t+5

3) y=-2t, z=-t+2

4)

41. Даны вершины эллипсоида А ₁(8;0;0); А ₂(-2;0;0). Написать уравнение этого

эллипсоида, зная, что плоскость YOZ пересекает его по эллипсу: x =0,

42. Оси симметрии однополостного гиперболоида Ф служат осями

ортонормированного репера и Ф проходит через эллипс и

гиперболу Написать уравнение гиперболоида Ф.

43. Оси симметрии однополостного гиперболоида служат осями ортонормированного репера. Написать уравнение этого гиперболоида, если он проходит через линию и точку М₀(3;4;3).

44. Написать уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат и который проходит через точку М₀(3;1;0) и пересекает плоскость хОz по эллипсу