оняття про крайові задачі, початкові та граничні умови.

Більшість фізичних та науково-технічних задач зводиться до знаходження розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними. Важливий клас диференціальних рівнянь з частинними похідними складають лінійні рівняння другого порядку з незалежними змінними, які у загальному випадку можна записати наступним чином:

, (1)

Найбільш поширеними частковими випадками рівняння (1) є: рівняння коливань, рівняння дифузії та стаціонарні рівняння.

Рівняння коливань має вигляд:

, (2)

де невідома функція залежить від просторових координат і часу , коефіцієнти визначаються властивостями середовища, в якому відбувається коливальний процес, функція виражає інтенсивність зовнішніх впливів, , . Рівняння (2) описує такі фізичні процеси як коливання струни, мембрани, тривимірних тіл, електромагнітні коливання і т.д. З рівняння (2), як частковий випадок, можна отримати класичне хвильове рівняння:

, (3)

яке описує процеси поширення звуку та електромагнітних хвиль в однорідному середовищі. У двовимірному випадку хвильове рівняння (3) описує малі поперечні коливання мембрани, а в одновимірному - такі фізичні процеси, як поперечні коливання струни та повздовжні коливання пружного стержня. Ввівши оператор Лапласа

, хвильове рівняння (3) можна записати так:

, (4)

Рівняння дифузії

, (5)

описує процеси поширення тепла або дифузії частинок у деякому середовищі, яке характеризується функціями . Як частковий випадок, з рівняння (5) можна отримати класичне рівняння теплопровідності

, (6)

де - питома теплоємність, -густина, - коефіцієнт теплопровідності середовища, в якому відбувається процес поширення тепла, - інтенсивність внутрішніх джерел тепла. Якщо середовище є ізотропним, тобто - константи, то з рівняння (6) отримаємо

, (7)

де називається коефіцієнтом температуропровідності, - густина джерел тепла. Якщо внутрішні джерела тепла відсутні, тобто , то з рівняння (7) отримаємо класичне рівняння Фур’є

, (8)

Стаціонарні рівняння описують усталені процеси, в яких величини, що характеризують їх не залежать від часу. Тоді рівняння коливань (2) та дифузії (5) будуть мати вигляд:

, (9)

При і рівняння (9) набуває вигляду

, (10)

і називається рівнянням Пуасона, а при отримуємо частковий випадок рівняння Пуасона, а саме рівняння Лапласа

, (11)

Для того, щоб повністю описати той чи інший фізичний процес не достатньо мати лише рівняння, яке описує цей процес. Необхідно задати також початковий стан процесу, який описується початковими умовами та режим процесу на границі області, в якій протікає цей процес, що описується граничними умовами. Математично це пов’язано з тим, що диференціальні рівняння мають безліч розв’язків. Дійсно, навіть для звичайного диференціального рівняння -го порядку загальний розв’язок залежить від довільних сталих. Для рівнянь з частковими похідними, загальний розв’язок залежить, в загальному випадку, від довільних функцій. Тому, для того, щоб виділити потрібний розв’язок з множини можливих розв’язків, який описує заданий реальний фізичний процес, необхідно задати додаткові умови, а саме початкові та граничні умови. Часто початкові та граничні умови об’єднують одним поняттям, а саме крайовими умовами. Тоді відповідна задача, тобто задача знаходження розв’язку заданого диференціального рівняння, який задовольняє заданим крайовим умовам, називається крайовою задачею.

ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ

1. Ознайомитися з основними рівняннями для моделювання на компонентному рівні та відповідними функціями MATHCAD.

2. Знайти, використовуючи відповідну функцію MATHCAD, розв’язок рівняння Пуассона у квадратній області розміру . Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки.

3. Побудувати 3D графіки отриманого розв’язку та за­да­ного точного розв’язку , а також лінії рівня в обох випадках.

4. Оформити і здати звіт про виконання лабораторної роботи.

ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

аріант №8

Знайти, використовуючи відповідну функцію MATHCAD, розв’язок рівняння Пуассона

у квадратній області розміру . Побудувати 3D графіки отриманого розв’язку та заданого точного розв’язку , а також лінії рівня в обох випадках. Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки.

5. ВИКОНАННЯ РОБОТИ

Рис.1. 3D графіки отриманого розв’язку

Рис.2. 3D графіки отриманого розв’язку

ВИСНОВОК

На цій лабораторній роботі, я ознайомився з основними можливостями інтегрованої системи для автоматизації проведення математичних розрахунків MATHCAD. А також основними функціями системи MATHCAD для дослідження математичних моделей у формі крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Знайшов, використовуючи відповідну функцію MATHCAD, розв’язок рівняння Пуассона у квадратній області розміру . Дослідив збіжність числового розв’язку при згущенні сітки. Побудував 3D графіки отриманого розв’язку та заданого точного розв’язку , а також лінії рівня в обох випадках.