неопределимой рамы методом сил.

 

 

Заданная расчетная схема Исходные данные

 

L₁ = 6.0 м

L₂ = 4.0 м

H = 8.0 м

Р = 2 т

q = 1 т/м

I₁ : I₂ =2:3

E = const

 

1. Определение степени статической неопределимости заданной рамы.

Рама является внешне статически неопределимой системой, следовательно, степень статической неопределимости находится по формуле:

 

n = С_оп –3 = 5 – 3 = 2

 

т.е. система дважды статически неопределима.

 

2. Выбор основной и эквивалентной систем метода сил. Назначение

лишних неизвестных Х₁ и Х₂

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Система канонических уравнений будет иметь следующий вид:

δ₁₁Χ₁ + δ₁₂Χ₂ + Δ_1Р = 0,

δ₂₁Χ₁ + δ₂₂Χ₂ + Δ_2Р = 0.

 

 

4. Построение единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов.

Для построения единичных и грузовой эпюр необходимо для каждого состояния найти опорные реакции.

 

 

 

 

Σ М_D = 0, -V_E · L₂ = 0, V_E = 0

Σ X = 0, X₁ – H_D = 0, H_D = 1

 

Σ Y = 0, V_E + V_D = 0, V_D = 0

 

Σ М_D = 0, X₂ · L₁ -V_E · L₂ = 0,

V_E = 1,5

 

Σ X = 0, H_D = 0,

 

Σ Y = 0, V_E + X₁ - V_D = 0,

V_D = 2,5

 

 

 

Σ М_D = 0,

 

q · H²/2 -V_E · L₂ + P · H/2 = 0,

 

Σ X = 0, q · H + P – H_D = 0,

H_D = 10 (т)

 

Σ Y = 0, V_E - V_D = 0,

V_D=10 (т)

 

5. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений.

 

δ₁₁ = = · ·8·8· ·8·2 + ·8·6·8 =

= + =

 

δ₁₂ = = - · ·6·6·8 = - δ₂₁ = δ₁₂ = -

 

δ₂₂ = = · ·6·6· ·6 + · ·6·4· ·6 =

= + =

 

Δ_1Р = = · · 8 ·32 · · 8 + · 8 · 6 ·32 +

 

+ · · 4 · 4 · · 40 + · · (72·8 + 4·56·6 +4·40) =

 

= + + + =

 

Δ_2Р = = - · ·6·6·32 + · ·6·4· ·40 =

 

= + = -

 

 

6. Построение суммарной единичной эпюры изгибающих моментов.

 

М_S = М₁ + М₂

 

 

δ_SS = = · ·8·8· ·8·2 + · ·6·4· ·6 +

 

+ · ·(8·8 + 4·5·5 + 2·2) = + + =

 

S δ_{i j} = δ₁₁ + δ₁₂ + δ₂₁ + δ₂₂ = - - + =

 

δ_SS = S δ_{i j}, т.е. выполнена универсальная проверка единичных коэффициентов, следовательно, единичные коэффициенты найдены верно.

 

7. Проводим проверку свободных членов канонических уравнений

(постолбцовая проверка).

 

Δ_SР = = · ·8·32· ·8 + ·5·6·32 +

 

+ · ·6 ·4· ·40 + · ·(40·4 + 6·4·56 +72·8) + · ·4·4· ·40

 

 

= + + + + =

 

S Δ_iР = Δ_1Р + Δ_2Р = - =

 

S Δ_iР = Δ_SР т.е. выполнена постолбцовая проверка, следовательно, свободные члены найдены верно.

 

8. Решаем систему канонических уравнений:

896/(3·EI) ·Χ₁ - 144/(3·EI) ·Χ₂ + 4704/(3·EI) = 0,

-144/(3·EI) ·Χ₁ + 120/(3·EI) ·Χ₂ - 256/(3·EI) = 0.

 

Сократив оба уравнения на величину 8/(3·EI), получим следующую систему уравнений:

112 ·Χ₁ - 18 ·Χ₂ + 588 = 0,

-18 ·Χ₁ + 15 ·Χ₂ - 32 = 0.

 

112 -18

D₀ = = 112·15 - 18·18 = 1356

-18 15

 

 

-588 -18

D₁ = = -588·15 + 18·32 = - 8244

32 15

 

 

112 -588

D₂ = = 112·32 - 18·588 = - 7000

-18 32

 

 

Х₁ = D₁ / D₀ = -8244 / 1356 = - 6,080 (т)

 

Х₂ = D₂ / D₀ = -7000 / 1356 = -5,162 (т)

 

Делаем проверку найденного решения, т.е. подставляем полученные значения Х₁ и Х₂ в канонические уравнения:

 

112·(-6,080) – 18·(-5,162) + 588 = -588,004 + 588 = 0,004» 0

 

- 18·(-6,080) +15 ·(-5,162) - 32 = 32,01 - 32 = 0,01» 0

 

т.о. решение найдено верно.

 

9. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов

М_ок = М₁·Х₁ + М₂·Х₂ + М_Р

 

 

 

 

 

Проведем суммирование полученных эпюр по характерным точкам

 

 

10. Проверяем правильность построения эпюры М_ок

а) Статическая проверка:

 

S М_В = 0, 16,64 - 16,64 = 0

S М_С = 0, -23,36 + 14,322 + 9,028 = 0

 

б) Деформационная проверка:

 

Δ_1ок = = - · ·(0·0 + 4·4·16,32 + 16,64·8)-

 

- ·8·6·1,154 + ·4/6·(15,68·4 + 4·6·19,52 +23,36·8)+

 

+ · ·15,68·4· ·4 = (-262,827-18,464 +239,36 +41,913)=

 

= (-281,291 + 281,273) = » 0

 

ОП: -0,018·100% /-281,291 = 0,006 % допустимая погрешность.

 

Δ_2ок = = · ·(0·16,64 + 4·3·1,154-14,332·6) +

 

+ · ·9,028·4· ·6 = ( -24,048 +24,075) = » 0

 

ОП: 0,027·100% / 24,075 = 0,11 % допустимая погрешность.

 

Деформационная проверка выполнена, следовательно, эпюра М_ок

построена верно.

 

 

11. Построение эпюры поперечных сил на основании построенной эпюры изгибающих моментов М_ок

 

 

S М_А = 0,

-16,64 + q·8·4 - Н_В·8 = 0,

Н_В = 1,92 (т)

 

S М_В = 0,

А

-16,64 - q·8·4 + Н_А·8 = 0,

Н_А = 6,08 (т)

 

S Х = 0, -Н_А – Н_В + q·8 = 0, 0 = 0

 

 

S М_В = 0,

-V_С·6 +14,332 +16,64 =0,

V_С = 5,162 (т)

 

S М_С = 0,

-V_В·6 +14,332 +16,64 =0,

V_В = 5,162 (т)

 

S Y = 0, V_В + V_С = 0, 0 = 0

 

S М_С = 0, 9,028 - V_Е·4 = 0

V_Е = 2,257 (т)

 

S М_Е = 0, 9,028 – V_С·4 = 0

V_С = 2,257 (т)

 

S Y = 0, -V_С + V_Е = 0, 0 = 0

 

S М_С = 0,

-23,36 + Н_D·8 - Р·4 = 0

Н_D = 3,92 (т)

 

S М_D = 0,

-23,36 - Н_С·8 + Р·4 = 0

Н_С = -1,92 (т) – значит направление реакции выбрано неверно, поэтому меняем его на противоположное.

 

S Х = 0, -Н_D + Н_С +Р = 0, 0 = 0

 

 

Эпюра поперечных сил будет иметь следующий вид:

 

 

 

 

12. Построение эпюры продольных (нормальных) сил N, на основании построенной эпюры поперечных сил:

 

 

 

S Х = 0, N_ВС + 1,92 = 0

N_ВС = -1,92 (т)

Получается, что усилие N_ВС направлено в противоположную

сторону, т.е. в узел.

S Y = 0, -N_АВ + 5,162 = 0

N_ВС = -1,92 (т)

 

 

S Y = 0,

N_СD - 5,162 + 2,257 = 0

N_СD = -2,905 (т) направлено в противоположную сторону.

 

S Y = 0,

N_СЕ - 1,92 + 1,92 = 0

N_СЕ = 0

 

 

Эпюра продольных сил N будет иметь следующий вид:

 

 

 

 

 

13. Согласно построенным эпюрам M, N, Q определяем опорные реакции рамы и составляем условие статического равновесия рамы в целом.

 

 

S М _F = 0, -V_А·3 + H_А·8 - q ·8·4 - Р ·4 - V_D·3 +H_D·8 -V_E·7 = 0,

 

-5,162·3 + 6,08·8 -1·8·4 - 2·4 - 2,905·3 +3,92·8 - 2,257·7 = 0,

 

0 = 0, следовательно, рама рассчитана верно, эпюры M, N, Q построены правильно.

 

Вопросы для самоконтроля.

 

1. Дать определение статически неопределимой рамы.

2. Дать определение внутренне и внешне статически неопределимых

рам.

3. Написать и пояснить формулы для определения степени

статической неопределимости внутренне и внешне статически

неопределимых рам.

4. Дать определение основной и эквивалентной систем.

5. Записать канонические уравнения метода сил для дважды

статически неопределимой системы. Объяснить физический смысл

каждого уравнения и каждого элемента входящего в уравнения.

6. Порядок определения единичных и грузовых коэффициентов

канонических уравнений.

7. Записать и пояснить проверки для единичных и грузовых

коэффициентов канонических уравнений.

8. Правила построения окончательной эпюры изгибающих моментов.

9. Деформационная проверка, ее физический смысл.

10. Порядок построения эпюры поперечных сил.

11. Порядок построения эпюры продольных усилий.

12. Взаимная проверка эпюр M, N, Q.

 

 

Общие указания

 

1. Расчетно-графическая работа должна быть выполнена на стандартных листах бумаги, формата А4 (210х297 мм).

2. Все записи и расчеты производятся чернилами на одной стороне листа, рисунки выполняются карандашом.

3. Расчеты должны содержать решения в общем (буквенном) виде и числовое решение.

4. Все вычисления производятся с точностью до 0,001.

5. Полностью выполненное и оформленное РГР сшивается и сдается преподавателя в указанные сроки.

 

 

Приложение 1

Фигура	Площадь Ω	Абсциссы центра тяжести
Z1	Z2
	hl	l/2	l/2
	hl/2	l/3	2l/3
	hl/3	l/4	3l/4
Парабола n - степени	hl (n+1)	l (n+2)	(n+1)l (n+2)
Квадратная парабола	2hl/3	3l/8	5l/8