Потренироваться в решении задач можно на тренажере tr

Прописываем путь к папке с тестами

addpath D:\trenag

запускаем тест командой

tr_PID

КОРРЕКЦИЯ КОНТУРА С СТАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ УПРАВЛЕНИЯ

Для придания контуру астатизма по управлению используются интегральные регуляторы: И ПИ и ПИД.

Различаются возможности интегрального (И), пропорционально-интегрального (ПИ) и

пропорционально-интегрального-дифференциального (ПИД) регуляторов.

Производим сравнение коррекции И-регулятором, ПИ-регулятором и ПИД-регулятором.

Одинаковым для трёх видов коррекции делаем запас устойчивости по фазе разомкнутого контура управления,

чтобы обеспечить одинаковое перерегулирование процессов в замкнутом контуре управления объектом.

Контура управления будут различаться быстродествием при обинаковом качестве переходных характеристик.

Параметры регуляторов расчитывают под наибольшее быстродействие (частоту среза) с заданным перерегулированием.

ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ

Warning: Size vector should be a row vector with integer elements.

> In rlax at 10

In tr_PID at 53

Ассимптотическая ЛАХ объекта управления имеет наклоны 0 -4 -5

с изломами на частотах 0.5 8

и частотой среза wc = 2

_ _ _ _ _ _ _ _

Статический Коэффициент усиления объекта = 256 (это наш К₀ из расчета). Передаточная функция объекта управления =

Zero/pole/gain:

---------------

(s+0.5)^4 (s+8)

Нули, полюсы и коэффициент zpk-формы Передаточной функции объекта управления =

z =

Empty matrix: 0-by-1

ps =

-8.0000

-0.5000

k =

Объект, naklony = 0 -4 -5, chastoty izlomov = 0.5 8, wc = 2

ПИД- регулятор имеет два нуля (корня полинома числителя) и два полюса (корня полинома знаменателя).

Своими нулями ПИД- регулятор может компенсирует два полюса объекта управления.

Теоретически Компенсируемые полюсы объекта могут быть положительными, т.е. неустойчивыми. Практически - нет.

Обычно компенсируют самые малые полюсы, как наиболее инерционные, тормозящие процессы управления.

Пусть ограничение подъёма усиления дифференциальной составляющей закона управления = 10

ЗАДАНИЕ КОМПЕНСИРУЕМЫХ ПОЛЮСОВ

ПИД-регулятор компенсирует самую большую постоянную времени Т1 = 2 C, а следующую за ней Т2 = 2 С уменьшает в 10 раза

ПИ-регулятор компенсирует лишь одну, самую большую постоянную времени Т1 = 2 C, так как имеет лишь один нуль.

И-регулятор нулей не имеет и средств для компенсации у него нет.

РАСЧЁТ ОСНОВНОГО ПАРАМЕТРА КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ

Задаёмся желаемым перерегулированием <= 5 % переходной характеристики контура управления с каждым регулятором.

И соответствующим ему коеффициентом ke = 0.5 смещения частоты среза относительно частоты суммарной инерционности объекта.

Суммарные инерционности = [8.125 6.125 4.325] (это наше Tsum) C нескомпенсированных полюсов контуров управления с И, ПИ, ПИД-регулятором.

Желаемые частоты среза (и коэффициенты усиления)= [0.061538 0.081633 0.11561] (это наше находим желаемую частоту среза wc_j) 1/C разомкнутых контуров управления с И, ПИ, ПИД-регулятором

РЕГУЛЯТОРЫ

Передаточная функция (zpk-форма) И-регулятора =

Zero/pole/gain:

0.00024038

----------

Передаточная функция (zpk-форма) ПИ-регулятора =

Zero/pole/gain:

0.00063776 (s+0.5)

------------------

Передаточная функция (zpk-форма) ПИД-регулятора =

Zero/pole/gain:

0.0090318 (s+0.5)^2

-------------------

s (s+5)

(это наша передаточная функция Wpid (s) в zpk-форме)

Передаточная функция (tf-форма) ПИД-регулятора =

Transfer function:

0.009032 s^2 + 0.009032 s + 0.002258

------------------------------------

s^2 + 5 s

КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ РАЗОМКНУТЫЕ

Частота среза = 0.059805 1/C, запас по фазе = 62.2886 гр. разомкнутого контура управления с И-регулятором. W(s) =

Zero/pole/gain:

0.030769

-----------------

s (s+0.5)^4 (s+8)

Частота среза = 0.078674 1/C, запас по фазе = 62.6103 гр. разомкнутого контура управления с ПИ-регулятором. W(s) =

Zero/pole/gain:

0.081633

-----------------

s (s+0.5)^3 (s+8)

Zero/pole/gain:

1.1561

-----------------------

s (s+0.5)^2 (s+5) (s+8)

Частота среза = 0.11016 1/C, запас по фазе = 63.0985 гр. разомкнутого контура управления с ПИД-регулятором. W(s) =

Zero/pole/gain:

1.1561

-----------------------

s (s+0.5)^2 (s+5) (s+8)

Запасы по фазе = [62.2886 62.6103 63.0985] гр. близки за счёт разных wc = [0.059805 0.078674 0.11016] 1/C, контуров управления с И, ПИ, ПИД-регулятором.

КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ ЗАМКНУТЫЕ

Передаточная функция замкнутого контура управления с И-регулятором =

Zero/pole/gain:

0.030769

------------------------------------------------------------------

(s+8) (s+0.7725) (s^2 + 0.1625s + 0.01364) (s^2 + 1.065s + 0.3651)

Передаточная функция замкнутого контура управления с ПИ-регулятором =

Zero/pole/gain:

0.081633

-------------------------------------------------------

(s+8) (s^2 + 0.2062s + 0.02212) (s^2 + 1.294s + 0.4613)

Передаточная функция замкнутого контура управления с ПИД-регулятором =

Zero/pole/gain:

1.1561

--------------------------------------------------------

(s+8.001) (s+4.996) (s+0.7263) (s^2 + 0.2767s + 0.03982)

Максимум АЧХ замкнутого контура с И, ПИ, ПИД-регулятором, M = [1 1 1] на частоте wm = [0 0 0] 1/C

Длительность h(t) = [28.7 21.59 16.09] С, относительно суммарной инерционности = [3.5323 3.5249 3.7202] для контуров с И, ПИ, ПИД-регулятором,

КОЭФФИЦИЕНТЫ И СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРА

Обнуленных нулей = 2

Коэффициенты ПИД регулятора: пропорциональный kP = 0.001716, интегральный kI = 0.00045159 (это наш коэффициент интегральный Ki) 1/С, дифференциальный kD = 0.0014632 C

Компенсируемые полюса объекта как отношения коэффициентов: -kI/kP = -0.5, -kP/kD = -0.5

Передаточные функции компонентов ПИД-регулятора: Пропорциональной = 0.001716, Интегральной =

Transfer function:

0.0004516

---------

Дифференциальной =

Zero/pole/gain:

0.0073158 s

-----------

(s+5)

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

МИНИМИЗАЦИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ДРУГИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ

ВАРЬИРУЕМ ПАРАМЕТР ke КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ

КОНТУР УПРАВЛЕНИЯ С ПИД-РЕГУЛЯТОРОМ

относительный коэффициент ke 0.35 0.4 0.5 0.6 0.75

частота среза разомк.контура 0.07892044 0.08957145 0.1101628 0.1298598 0.1576205

запас по фазе разомк.контура 70.59127 68.01942 63.09847 58.46395 52.07169

перерегулирование (в %) 0.12 1.03 4.63 9.08 16

длительность h(t) 5% трубку 25.34 20.64 16.09 25.46 23.63

длительность h(t) 1% трубку 32.19 33.46 34.47 30.39 38.17

показатель колебательности М 1 1 1 1.030675 1.139509

I1 = интеграл{t*|е(t)|}dt 101.0032 80.07521 65.23106 62.10055 64.79587

I2 = интеграл{е(t)^2}dt 8.924494 8.204782 7.233078 6.628516 6.097149

Приведенные в таблице данные следует использовать для оптимизации контура управления с ПИД-регулятором.

Минимальное время = 16.09 С вхождения процесса в 5 % трубку достигается при перерегулировании = 4.63 % и ke = 0.5,

на скачёк координаты установившеяся ошибка = 0, на скачёк скорости - ошибка = 9.0775, или 907.75 % величины скачка.

Минимальное время = 30.39 С вхождения процесса в 1 % трубку достигается при перерегулировании = 9.08 % и ke = 0.6,

на скачёк координаты установившеяся ошибка = 0, на скачёк скорости - ошибка = 7.7006, или 770.06 % величины скачка.

Минимум показателя колебательности М = 1 достигается при перерегулировании <= 4.63 % и ke <= 0.5.

Минимум (модульной, умноженной на время) интегральной оценки I1 = 62.1006 достигается при перерегулировании = 9.08 % и ke = 0.6.

Минимум квадратичной интегральной оценки I2 достигается вблизи границы устойчивости, и категорически не рекомендуется её использовать для оптимизации.

МИНИМУМ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СУММАРНОЙ ИНЕРЦИОННОСТЬЮ = 4.325 С НЕСКОМПЕНСИРОВАННЫХ ПОЛЮСОВ КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ.

МИНИМУМ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ = 16.09 С ЗАВИСИТ ТОЛЬКО ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ, УМЕНЬШАЮЩЕЙ ПОСТОЯННУЮ ВРЕМЕНИ ОБЪЕКТА В 10 РАЗ.

ДАЛЬНЕЙШЕЕ УМЕНЬШЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЗМОЖНО ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ПД-РЕГУЛЯТОРОМ, УМЕНЬШАЮЩИМ ЕЩЁ ОДНУ ПОСТОЯННУЮ ВРЕМЕНИ ОБЪЕКТА.

Теперь по графикам. В идеале графики из теста tr_PID и программы из расчета вручную (если расчитано верно) должны совпасть, как и значения, выделенные прямоугольниками. На первом графике это красная линия (raz. Kont. PID) Нужно учитывать тот факт, что на графиках разный масштаб.

Эти графики тоже совпадают с красным из tr_PID (PID и ke=0.5). горб над единичной пунктирной линией означает наше перерегулирование в 5%, которое мы задавали в исходных данных. При ke=0.35 (перерегулирование в 0%) график плавно стремиться к единичному уровню усиления. Чем выше перерегулирование, тем выше ke и выше горб.

Дополнено!

Снять параметры c графиков для препода можно так (сделано на основе других графиков):

После написание проги по вашим расчётам вылезут 2 фигуры

Там, где переходная характеристика с перерегулированием, первый график:

В матлабе правой кнопкой клик -> Characteristics -> Peak Response

Появится синяя точка, на ней левый клик, появятся параметры в прямоугольнике:

Overshoot = перерегулирование

Длительность переходного процесса = время (снизу) на амплитуде (слева) до уровня 1+0.05 или 1-0.05. Это из теории. Или правый клик, Characteristics -> Setting Time. но матлаб криво как-то показывает, не по тем пределам)

Там есть еще время насыщения (время процесса до уровня 0.9 по амплитуде) (ПКМ, Characteristics -> Rise time)

Вторая фигура:

Расставляем точки над пересечением вертикальной пунктирной линией и графиком, нажимаем на точки, вылезут прямоугольники с параметрами. Параметры должны совпасть со сорокой над фигурой, там усиление с частотой и запас по фазе с частотой (с фазой горизонтальный пунктир на -180°, значит 180°-116°=64° = совпадает!)

Потренироваться в решении задач можно на тренажере tr_PID