Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

При определении внутренних усилий при игибе используется следующее правило знаков:

1. Поперечная сила Q_y положительна, если равнодействующая R внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз (рис. 3.1).

Рис. 3.1

2. Изгибающий момент M_x положителен, если он вызывает положительную кривизну балки (рис. 3.2). При определении знака кривизны рассматриваемое сечение балки условно считается жестко закрепленным.

Чтобы выяснять, характер распределения поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки, строят соответствующие эпюры.

Рис. 3.2

Условие прочности при изгибе

Нормальное напряжение при изгибе определяется по следующей формуле:

, (3.1)

где M_x – изгибающий момент; J_x – осевой момент инерции сечения; y – координата точки, в которой определяется напряжение.

Максимальное нормальное напряжение:

Осевой момент сопротивления сечения:

; (3.2)

– для прямоугольного сечения:

, , W_x = ; (3.3)

– для круглого сечения:

, , . (3.4)

С учетом формулы (3.2) условие прочности при изгибе примет следующий вид:

, (3.5)

где [σ] – допускаемое нормальное напряжение при изгибе.

Задание на расчетно-графическую работу № 3

Расчетно-графическая работа № 3 по теме «Изгиб» включает в себя две задачи: подбор сечений консольной балки с оценкой их рациональности и определение безопасной нагрузки для двухопорной балки.

Задача 1. Из расчета консольной балки на прочность подобрать двутавровое, прямоугольное ( = 1,5) и круглое сечения. Принять [σ] = 160 МПа. Сравнить по массе балки указанных сечений.

Вариант	I	II	III	IV	V	VI	VII	VII	IX	X
F, кН
M, кНм
l, м	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0

Варианты расчетных схем к задаче 1 приведены на с. 34–37.

Задача 2. Прогон пролетного строения низководного моста изготавливается в виде сварного пакета из двух стальных горячекатаных швеллеров по ГОСТ 8240–72. Определить допустимую нагрузку на прогон, принимая допускаемое напряжение на изгиб [σ] = 100 МПа; сосредоточенная сила F = ql.

Вариант	I	II	III	IV	V	VI	VII	VII	IX	X
Швеллер						24а		22а		20а
l, м	8,0	7,0	6,0	5,6	5,0	4,8	4,0	3,6	3,0	2,4

Варианты расчетных схем к задаче 2 приведены на с. 38–41.

Пример выполнения расчетно-графической работы № 3

Задача 1

Исходные данные:

F = 10 кН;

М = 20 кНм;

l = 1,2 м;

[σ] = 160 МПа.

Требуется определить:

номер двутавра, h, b, d –?

Решение:

1. Строим эпюру изгибающих моментов:

при z ₁= 0, (кНм),

при z ₁ = 0,6 l, (кНм);

при z ₂ = 0,6 l, (кНм),

при z ₂ = l, (кНм).

По рассчитанным данным строим эпюру, опасное сечение – в заделке.

2. Из расчета на прочность при изгибе найдем необходимый осевой момент сопротивления сечения балки:

откуда

(мм³) = 305 (см³).

3. Подбираем заданные сечения.

По ГОСТ 8239–72 находим двутавр, имеющий см³. Для двутавра № 24а W_x = 317 см³.

Прямоугольное сечение:

(см³),

откуда

(см), (см).

Круглое сечение:

W_x = 0,1 d ³ = 305 (см³),

откуда

d = = 14,5 (см).

4. Сравним по массе балки найденных сечений:

m _д: m _п: m _к = ρ V _д: ρ V _п: ρ V _к = lA _д: lА _п: lА _к = А _д: bh: ,

где m – масса; ρ – плотность; V – объем; А_Д – площадь сечения двутавра, прямоугольника, круга.

По ГОСТ 8239–72 для двутавра № 24а А _д = 37,5 см².

m _д: m _п: m _к = 37,5: (9,3 × 14): = 37,5: 130,2: 165,1 = 1: 3,5: 4,4.

Ответ: двутавр № 24а, прямоугольник 9,3 × 14 см, круг диаметром 14,5 см; наиболее рационально двутавровое сечение, масса балки прямоугольного сечения в 3,5 раза больше, а круглого – в 4,4 раза больше, чем двутаврового, при одинаковой прочности.

Задача 2

Исходные данные:

швеллер № 40;

l = 8,0 м;

[σ] = 100 МПа.

Требуется определить:

q, F –?

Решение:

1. Определяем реакции опор, составляя уравнения моментов относительно точек А и В:

∑ М_А = 0, – q ∙ 1,2 l ∙ 0,6 l + F ∙ 1,2 l + y_B l = 0, y_B = –0,4 ql;

∑ M_B = 0, – y_Al + q ∙ 1,2 l · 0,4 l + F ∙ 0,2 l = 0, y_A = 0,68 ql.

Проверка:

∑ _y = 0; y_A + y_B + F – q ∙ 1,2 l = 0, 0,68 ql – 0,48 ql + ql − 1,2 ql = 0.

2. Рассчитываем эпюру изгибающих моментов:

0 ≤ z ₁ ≤ l,

при z ₁ = 0, = 0;

при z ₁ = l, = 0,68 ql ² − 0,5 ql ² = 0,18 ql ².

Найдем положение вершины параболы:

, ,

при z ₁ = 0,68 l, .

;

при z ₂ = 0, = 0;

при z ₂ = 0,2 l, = 0,18 ql ².

Найдем положение вершины параболы на втором участке:

, ,

при z ₂ = l, = 0,5 ql ².

По рассчитанным данным строим эпюру изгибающих моментов. Опасным является сечение при z ₁ = 0,68 l, где М_х = 0,23 ql ².

2. Определим геометрические характеристики сечения прогона, которое состоит из двух сваренных швеллеров.

3. Сечение имеет две оси симметрии, которые и являются главными центральными осями.

Момент инерции одного швеллера № 40 относительно оси x (по ГОСТ 8240–72) см⁴. Для сварочного сечения, учи-тывая, что ось x для всего сечения совпадает с главной центральной осью швеллера: , см⁴.

Осевой момент сопротивления сечения:

(см³),

здесь y _max , h = 40 см (для швеллера № 40).

5. Из расчета на прочность при изгибе найдем допустимую нагрузку на прогон. Условие прочности:

где M_x = 0,23 ql ²; l = 8 м; W_x = 1522∙10^{-6 м3}; [σ] = 100 ∙ 10⁶ Н/м², тогда

(Н/м²),

(Н/м) = 10,3 (кН/м),

F = ql = 10,3 ∙ 8 = 82,4 (кН).

Ответ: распределенная нагрузка q = 10,3 кН/м, допустимая нагрузка F = 82,4 кН.

Варианты расчетных схем

Задача 1

Задача 2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Клячкин, В. Н. Сопротивление материалов: учеб. пособие / В. Н. Клячкин. – Ульяновск: УВГТУ, 1983. – 130 с.

2. Леденева, Н. Ф. Сборник задач по сопротивлению материалов: учеб.-метод. пособие для курсантов УВАУ ГА / Н. Ф. Леденева, И. Н. Карпунина. – Ульяновск: УВАУ ГА, 2001. – 53 с.

3. Степин, П. А. Сопротивление материалов: учебник для немашиностроительных специальностей вузов / П. А. Степин. – 8-е изд. – М.: Высшая школа, 1988. – 367 с.

4. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов: учебник для втузов / В. И. Феодосьев. – 10-е изд., перераб. и доп. – М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. – 592 с.

Методические указания
по выполнению расчетно-графических работ

(раздел «Сопротивление материалов»)

Карпунина

Ирина Николаевна

Леденева

Нина Федоровна

Мельникова

Ираида Анатольевна

Сиднева

Ирина Евгеньевна

МЕХАНИКА

редактор О. А. Запевалова