Упражнения для аудиторной работы

Практикум по дифференциальной геометрии и топологии

Аудиторная работа № 11

 

Тема: Поверхности вращения. Линейчатые поверхности

 

Основные вопросы

 

1. Поверхности вращения

2. Линейчатые поверхности

 

Упражнения для аудиторной работы

1. Поверхность вращения. Пусть – гладкая кривая в плоскости Охz, заданная параметрическими уравнениями x = x(u) 0, z = z(u), u I, Г – поверхность, получаемая вращением кривой вокруг оси Оz.

1) Запишите параметрические уравнения поверхности Г в декартовых координатах x, y, z, принимая в качестве параметров ее точки Р (х, у, z): параметр u точки Р′ пересечения кривой с плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно оси Oz, и угол v между радиус-вектором проекции Р′′ точки Р на плоскость Оху и осью Ох.

2) Является ли полученная параметризованная поверхность гладкой?

3) Что представляют собой координатные линии семейств u = const (параллели) и v = const (меридианы) поверхности вращения Г?

Ответ. 1) х = х(u) cos v, y = х(u) sin v, z = z(u), где (u;v) I х [0; ).

2) Да.

3) Окружности и кривые, равные кривой (нулевому меридиану).

2. Поверхность получается вращением трактрисы x = sin u, y = 0, z = lntg + cos u, u (0; ), вокруг оси Оz (псевдосфера).

1) Запишите ее параметрические уравнения в декартовых координатах x, y, z, выбирая параметры u и v, как в упражнении 1.

2) Что представляют собой координатные линии семейств u = const и v = const?

3) Сделайте эскиз поверхности; изобразите на нем по одной координатной кривой из каждого семейства.

Ответ. 1) х = sin u cosv, y = sin u sinv, z = lntg + cos u, (u;v) (0; ) х [0; ).

2) Окружности (параллели) и кривые, равные трактрисе (меридианы).

3. Линейчатая поверхность. Пусть – гладкая кривая в пространстве, заданная векторным параметрическим уравнением = (u), u I, Г – поверхность, получаемая при движении прямой l (образующей) по кривой (направляющей), т.е. проходящей в процессе движения через каждую точку этой кривой.

1) Запишите векторное параметрическое уравнение поверхности Г, принимая в качестве параметров ее точки Р: параметр u точки Р′ кривой , через которую проходит образующая, содержащая точку Р, и «коэффициент коллинеарности» v векторов и – орта этой образующей ( = v , v R).

2) Что представляют собой координатные линии семейств u = const и v = const линейчатой поверхности Г?

Ответ. 1) = (u) + v , u I, v R.

2) Координатная линия u = u₀ – образующая, проходящая через точку направляющей с параметром u₀, координатная линия v = v₀ – кривая на поверхности Г, расстояние от каждой точки которой до точки пересечения проходящей через нее образующей с кривой одно и то же и равно │v₀│(эквидистанта).

4. Запишите неявное уравнение цилиндрической поверхности в в декартовых координатах х, у, z, направляющей которой является окружность х² + у² = 1, z = 0, образующие которой параллельны вектору

= (1; 1; 1).

Ответ. (x – z)² + (y – z)² – 1 = 0.

Замечание. Цилиндрическая поверхность, очевидно, является линейчатой поверхностью, у которой все образующие параллельны. Поэтому ее векторное параметрическое уравнение можно записать в виде

= (u) + v ,

где = (u), u I, – уравнение любой ее направляющей, – постоянный вектор, параллельный ее образующим, v R.

5. Запишите неявное уравнение конической поверхности в декартовых координатах х, у, z, вершиной которого является точка В (1; 1; 1), а образующими – прямые, проходящие через точки окружности х² + у² = 1, z = 0.

Ответ. (x – z)² + (y – z)² – (z – 1)² = 0.

Замечание. Коническая поверхность, очевидно, является линейчатой поверхностью, у которой направляющей является точка (вершина конуса). Поэтому ее векторное параметрическое уравнение можно записать в виде

= + v ,

где – радиус-вектор вершины конуса (постоянный вектор), = , u I, – вектор с началом в вершине конуса и концом в точке любой его направляющей (отличной от вершины) с параметром u, v R.