Конструкции второго замечательного предела

Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции

 

Определение. Функция называется б.м.ф. при если .

Определение. Функция называется б.б.ф. при если .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции могут определяться при .

Примеры.

1) . Очевидно , а .

2) . Очевидно , а .

Таким образом, одна и та же функция может быть как б.м., так и б.б., т.е. все зависит от точки и способа стремления к ней.

Еще примеры.

3) б.м.ф. при . Действительно (см. график).

4) б.м.ф. при . Действительно (см. график).

Следует знать:

1) при ,

2) .

Свойства б.м.ф.

Если б.м.ф. и то:

1) б.м.ф.,

2) б.м.ф.,

3) б.м.ф., однако ?

4) б.м.ф., однако ?

5) б.б.ф.

 

Пример на 5). б.м.ф., а б.б.ф. в точке .

 

Сравнение (классификация) б.м. функций (величин)

Для сравнения б.м.ф. находят предел отношения.

Пусть б.м.ф. и .

При этом если , то называют эквивалентными и записывают ;

Таблица (примеры) эквивалентных б.м. функций (величин)

В простейшем варианте	В общем случае ( при )
в частности	в частности

 

 

Первый замечательный предел

Из таблицы и определения эквивалентных б.м. можем записать

В простейшем варианте	В общем случае ( - б.м. при )
и т.д. см. табл. эквивалентных

Детальное обоснование и доказательства этих пределов будет рассмотрено в теории рядов. Указанные пределы называют первыми замечательными пределами.

 

Однако чаще всего первым замечательным называют предел

или

Примеры применения эквивалентных б.м.ф.

 

1. В приближенных вычислениях значений функций.

Вычислить

Решение.

Воспользуемся эквивалентностью б.м.ф. . Имеем . Калькулятор .

 

Вычислить

Решение.

Воспользуемся эквивалентностью б.м.ф. . Имеем . Калькулятор .

Заметим, что приближенные равенства тем точнее, чем меньше значение .

 

2. При нахождении пределов.

Для практики при нахождении пределов важная следующая теорема.

Теорема. Предел отношения бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т.е. если

,

,

то

.

Примеры.

,

или , т.е. заменяем функцию эквивалентной ей − .

 

Конструкции второго замечательного предела

В теории числовых последовательностей доказано, что

, .

При замене дискретных на непрерывное , т.е. изменяется непрерывно и функция

также имеет предел равный числу , т.е.

.

Кроме того, если и замене , где имеет место равенство

.

 

Конструкции пределов, заключенные в рамку называют вторым замечательным пределом в простейшем варианте.

Если заменить на , где бесконечно большая функция при то будем иметь

,

 

или если заменить на , где бесконечно малая функция при то будем иметь

.

 

Таким образом, имеем к онструкции второго замечательного предела

В простейшем варианте	В общем случае

 

Эти конструкции пределов используются при нахождении пределов функция вида которую называется показательно-степенной. При нахождении необходимо иметь в виду следующие возможные случаи.

 

		, и конечны и

 

К раскрытию (снятию) указанных неопределенностей приступим позже.