Сызықтық оператордың ядросы мен образы

Айталық, L(V ) берілсін.

Анықтама. V кеңістігінің, сызықтық операторының нәтижесінде нольдік векторға көшетін векторларының жиынын сызықтық операторының ядросы деп атайды және ker деп белгілейді. (kernel – ядро). Сонда,

ker = х V | (х) = 0 .

Анықтамадан ker V болатыны түсінікті.

Лемма. Сызықтық оператордың ядросы V кеңістігінің ішкі кеңістігі болады.

Дәлелдеу. Ішкі кеңістіктің критериі бойынша дәлелдейміз (қара, §2, теорема).

Айталық х,у ker (х) = 0 & (у) = 0. х+у ker –?

(х + у) = (х) + (у) = 0 + 0 = 0 х+у ker .

F, ( х) = (х) = 0 = 0 х ker . Онда ker – ішкі кеңістік.

Анықтама. сызықтық операторының ядросының өлшемі сызықтық оператордың дефектсі деп аталады. Белгілеуі def . Сонда,

def = dim (ker ).

Дефект – ол сан. Ол сызықтық оператордың тек өзіне ғана байланысты, оның берілу әдісіне байланысты емес. Дефект – сызықтық оператордың инварианты.

Лемма. Сызықтық оператор нұқсансыз болуы үшін оның ядросы жалғыз нольдік вектордан тұруы қажет және жеткілікті. (Дәлелсіз).

Анықтама. V кеңістігінің, сызықтық операторының нәтижесінде прообраздары бар векторларының жиынын сызықтық операторының образы немесе мәндерінің жиыны деп атайды және im деп белгілейді. (image – образ). Сонда,

im = х V | z V (z) = x немесе

im = (z) | z V .

Анықтамадан im V болатыны түсінікті.

Лемма. Сызықтық оператордың образы V кеңістігінің ішкі кеңістігі болады.

Дәлелдеу. Ішкі кеңістіктің критериі бойынша дәлелдейміз.

Айталық х,у im х= (z) & у = (t), z,t V . x+y im –?

x + y = (z) + (t) = (z +t) х+у im .

F, х = (z) = ( z) х im . Онда im – ішкі кеңістік.

Анықтама. сызықтық операторының образының өлшемі сызықтық оператордың рангсы деп аталады. Белгілеуі rang . Сонда,

rang = dim (im ).

Ранг – ол сан. Ранг да дефект тәрізді сызықтық оператордың берілу әдісіне байланысты емес, оның тек өзіне ғана байланысты. Ол да – сызықтық оператордың инварианты болады.

Лемма. Сызықтық оператордың рангсы оның матрицасының рангсына тең болады. (Дәлелсіз).

Сызықтық оператордың рангсы мен дефектсі бір-бірімен байланысты, атап айтқанда мына тұжырымдама дұрыс болады.

Теорема. Сызықтық оператор берілген векторлық кеңістіктің өлшемі сол оператордың дефектсі мен рангсының қосындысына тең болады:

dim V = def + rang

немесе dim V = dim (ker ) + dim (im ).

Теореманы дәлелсіз қабылдаймыз.

Ескерту. Соңғы теңдіктен V = ker + im теңдігі шықпайды.

 

Сызықтық оператордың меншікті векторлары мен

Меншікті мәндері

 

n 1. Матрицаның характеристикалық көпмүшелігі мен

характеристикалық теңдеуі

 

Айталық, А –элементтері F өрісіне тиісті n -ші ретті квадрат матрица болсын:

А = немесе қысқаша А = (), i, j =1,2,…, n.

F делік. Берілген А матрицасымен қоса А– Е матрицасын қарастырамыз.

А– Е = .

Соңғы А– Е матрицасының анықтауышы |А– Е| – -ға байланысты n -ші дәрежелі көпмүшелік болады:

|А– Е| = = a + a + a +…+ a + a .

Бұл көпмүшелікте -нің коэффициенті a = (-1) , -нің коэффициенті a А матрицасының бас диагоналы элементтерінің қосындысына (a = + + +... + ), бос мүшесі a А матрицасының анықтауышына тең болады (a = det А).

Мысал. А= , R. А– Е = ;

 

|А– Е| = = (жоғарыда айтқанымыздан, – +3 +? +2 түріндегі көпмүшелік шығуы керек) = (1– ) –(1– )+2(1– ) =1–3 +3 – –– 1+ +2–2 = – +3 –4 +2.

Матрица 3-ші ретті болғанда, -ның коэффициенті А матрицасының негізгі 3 анықтауышының қарама–қарсы таңбамен алынған қосындысына тең болады.

Анықтама. |А– Е| көпмүшелігін А матрицасының характеристикалық көпмүшелігі деп атайды. Оны () деп белгілейміз.

Анықтама. () = |А– Е| = 0 теңдеуі А матрицасының характеристикалық теңдеуі деп, ал ол теңдеудің түбірлері А матрицасының характеристикалық сандары деп аталады.

Ескерту. Алгебраның негізгі теоремасынан, характеристикалық теңдеудің С – комплекс сандар өрісінде ең болмағанда бір түбірі болатыны белгілі.

Айталық, Т – элементтері F өрісіне тиісті нұқсансыз n -ші ретті квадрат матрица болсын. Онда В = Т·А·Т матрицасы А матрицасына ұқсас екенін білеміз. Осы В матрицасының характеристикалық көпмүшелігін есептейік.

|В– Е| = | Т·А·Т – Е| = | Т·А·Т – Т·Е·Т | = | Т·(А – Е)·Т | =

= |Т|·|А– Е|·| Т | = |Т||·| Т |·|А– Е| = |А– Е|.

Сонда, ұқсас матрицалардың характеристикалық көпмүшеліктері тең.

Олай болса, барлық ұқсас матрицалардың характеристикалық көпмүшеліктері – () тең болады; онда () = 0 – характеристикалық теңдеулері де және характеристикалық сандары да тең болады.

Егер А және В = Т·А·Т ұқсас матрицаларын V кеңістігіндегі бір ғана сызықтық операторының әртүрлі базистегі матрицалары деп қарастырсақ, онда осы нәтижелерден төмендегідей қорытындыға келеміз:

Сызықтық оператордың матрицасының характеристикалық сандары базиске тәуелді емес.Сондықтан, оларды сызықтық оператордың характеристикалық сандары деп атайды.

Ескерту. () = |А – Е| характеристикалық көпмүшелігін сызықтық операторының характеристикалық көпмүшелігі деп, ал () = |А – Е| = 0 характеристикалық теңдеуін сызықтық операторының характеристикалық теңдеуі деп атайды.

 

n 2. Сызықтық оператордың меншікті векторлары мен меншікті мәндері

Айталық, L(V ), F болсын.

Анықтама. Егер нольдік емес а V векторы табылып,

(а) = а

теңдігі орындалса, онда скалярын сызықтық операторының меншікті мәні деп, ал а векторын сызықтық операторының, меншікті мәніне сәйкес келетін, меншікті векторы деп атайды.

Сонда, def

( – меншікті мәні, сыз.опер–ң) ( а 0 V (а) = а),

а – –ға сәйкес келетін меншікті вектор.

Мысалдар.

1). = – бірлік оператор. Бұл сызықтық оператор үшін, (а) = а = 1 · а

теңдігінен, меншікті мән 1 F, ал оған сәйкес меншікті вектор V кеңісті –

гінің кезкелген нольден өзге векторы болады.

2). = – нольдік оператор. Бұл сызықтық оператор үшін, (а) = 0 = 0 · а

теңдігінен, меншікті мән 0 F, ал оған сәйкес меншікті вектор V кеңісті –

гінің кезкелген векторы болады.

3). – жазықтықты бұрышына бұру. =0 және = =180 , жалпы,

= к ,к Z жағдайларын алайық. Онда, сәйкесінше, (а) = 0 (а) = а = 1а;

(а) = (а) = – а = (– 1) а болғандықтан = 1 және = – 1 меншікті мәндер. Жалпы жағдайда, = (– 1) меншікті мәндер, ал кезкелген нольден өзге вектор меншікті вектор болады. Барлық басқа жағдайларда, яғни к

болғанда, = бұрышына бұру операторының меншікті векторлары болмайды.

Ескерту. Бұл мысал, кезкелген сызықтық оператордың меншікті векторы бола бермейтінін көрсетеді.

 

n 3. Меншікті мәндер мен меншікті векторлардың қасиеттері

 

1 . Әрбір меншікті вектор тек бір ғана меншікті мәнге сәйкес келеді.

Дәлелдеу. Кері жориық: а 0 векторы екі меншікті мәнге сәйкес келсін:

(а) = а және (а) = а. Онда а – а = (а) – (а) = 0 |в.к.акс.|

( – ) а = 0 | а 0 болғ., в.к.акс.| – = 0 = .

2 . Әрбір меншікті мәнге сәйкес келетін меншікті векторлар шексіз көп.

Олардың жиыны, нольдік векторды қоса есептегенде, векторлық кеңіс–

тіктің ішкі кеңістігін құрайды. Оны сол меншікті мәнге сәйкес келетін

меншікті ішкі кеңістік деп атайды.

W = a V | (а) = а ;

W 0 = W – ішкі кеңістік.

Дәлелдеу. Ішкі кеңістіктің критериі бойынша дәлелдейміз.

х, у W (х)= х, (у)= у және х 0, у 0. х + у W –?

Егер х+у = 0 болса, онда х+у W .

Егер х+у 0 болса, онда (х+у) = (х)+ (у) = х + у = (х+у)

х+у W . Сондықтан х + у W .

F х W –?

( х) = · (х) = · х = · х = · х = · х х W . Онда х W .

Олай болса, W – ішкі кеңістік.

3 . F өрісінде берілген V векторлық кеңістіктегі сызықтық операторының

меншікті мәндерінің жиыны сол оператордың характеристикалық теңдеуінің

F өрісіне тиісті болатын түбірлерінің жиынымен беттеседі.

Белгілеулер енгізейік.

L = F | a 0 (а) = а – меншікті мәндер жиыны,

M = F | () º 0 – ()= 0 теңдеуінің түбірлерінің жиыны.

Сонда, L = М екенін дәлелдеу керек.

Ол үшін а) L М, б) М L болатынын көрсетеміз.

Дәлелдеу. V векторлық кеңістігінің қандайда-бір е , е ,..., е

базисіндегі сызықтық операторының матрицасы

А = болсын ( F).

х = е +... + е – кезкелген вектор, ал (х) = е +... + е – оның

образы делік. х пен (х) векторларының координаталарының байланысы

белгілі (§4 қара): (,..., ) = (,..., ) А немесе

= + + … +

= + + … + (11; 1)

………………………….

= + + … +

 

а) L М –? Айталық, L болсын, яғни F – сызықтық оператордың

х меншікті векторы сәйкес келетін меншікті мәні болсын. Онда х 0 және

(х) = х немесе (,..., ) = ( ,..., ) (11; 2)

(11; 2)-ні (11; 1)-ге қойып мынадай теңбе – теңдіктер жүйесін аламыз:

(11; 3)

 

(11; 3) жүйе – ,..., скалярлары

 

(11; 4)

 

түріндегі біртекті СТЖ –ң нольден өзге шешулері екенін көрсетеді.

Нольден өзге шешулері болса, онда (11; 4) жүйенің анықтауышы нольге тең болғаны:

º 0 (11; 5)

 

Ал (11; 5) теңдік транспонирленген |А – Е| = ( ) º 0 теңдігі.

Онда () = |А – Е| = 0 характеристикалық теңдеуінің түбірі, яғни

ол характеристикалық сан (және ол F өрісіне тиісті). Онда М. Олай

болса, L М екені дәлелденді.

б) М L –? Айталық М болсын, яғни – сызықтық операторының

F өрісіне тиісті болатын характеристикалық саны болсын. Ол

( ) = |А – Е| º 0 деген сөз. Ал |А – Е| анықтауышын транспонир-

лесек те ол 0 -ге тең болады, яғни (11; 5) теңдікті аламыз (тек -ң орнына

тұрады). (11; 5) теңдік (11; 4) жүйенің анықтауышы. Біртекті СТЖ-ң

анықтауышы нольге тең болғасын, оның нольдік емес шешулері болғаны.

Олардың біреуі (, ,..., ) делік. Онда ол (11; 3), (11; 2) өрнектерге

ұқсас, – ң орнына – ді қойғандағы өрнектерді қанағаттандырады.

Онда координаталары (, ,..., ) болатын х векторы үшін

(х ) = х

теңдігі дұрыс болғаны. Онда – сызықтық операторының меншікті мәні,

ал х векторы оған сәйкес келетін меншікті вектор. Онда L. Олай болса,

М L екені дәлелденді.

Дәлелденген а), б) жағдайлардан L = М. д.к.о.

(қара: 1 , 123 бет, теорема 5.8; қай дәлелдеу оңай, соны таңда).

 

Дәлелденген қасиеттен төмендегідей практикалық ереже аламыз:

Алдымен, сызықтық оператордың барлық меншікті мәндерін табамыз. Олардың саны шекті (n – нен аспайды). Ол үшін характеристикалық теңдеудің түбірлерін табады. Ол түбірлердің тек негізгі өріске тиістілері ғана меншікті мәндер болады.

Сонан кейін, әрбір меншікті мәнге сәйкес келетін меншікті векторларды табамыз. Олар шексіз көп (олардың жиыны ішкі кеңістік құрайды). Сондықтан олардың тек сызықтық байланыссыз болатындарын (базис бола – тындарын) ғана табамыз. Ол үшін әрбір меншікті мәнін (11; 4) біртекті жүйеге –ң орнына қояды да, оның базистік (фундаменталь) шешулерін табады. Сол базистік (фундаменталь) шешулер меншікті мәніне сәйкес келетін сызықтық байланыссыз меншікті векторлар болады (базис болады). Олардың саны бос айнымалылар санына, яғни n – r санына тең (мұндағы r – А – Ематрицасының рангсы).

Мысал. Айталық V – үш өлшемді декарттық R кеңістігі болсын (F = R).

Осы кеңістікте сызықтық операторы қандайда-бір базисте

А = матрицасымен берілген. Осы оператордың меншікті мәндерін және әрбір меншікті мәнге сәйкес келетін меншікті векторларын табу керек: (х)= х, –? х –? х = (х , х , х ).

Характеристикалық теңдеу құрамыз

|А – Е|= = – + 5 – 8 +4 = – ( – 5 + 8 – 4) = 0.

Түбірлерін табамыз. – 4-ң бөлгіштері: , , . Ауызша, +1 түбірі екенін оңай есептейміз. Горнер схемасымен де есептеуге болады:

| 1 | -5 | 8 |- 4

| 1 | 1 | -4 | 4 | 0 – ( – 1)( – 4 + 4) = ( – 1)( 2) = 0.

Сонда, түбірлері: = = 2 R – екі еселі түбір, = 1 R – жай түбір.

Оператордың меншікті мәндері: