Проекции углового ускорения при равноускоренном и равнозамедленном вращение; угловое ускорение, проекции углового ускорения при равноускоренном и равнозамедленном вращении.

(ИЛИ Кинематика вращательного движения: угловая скорость. Равномерное вращение. Угловое ускорение. Проекции углового ускорения при равноускоренном и равнозамедленном вращении.)

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса (рис. 6). Ее положение через промежуток времени ; задается углом .

Рис. 6 Рис. 7

Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (см. рис. 6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис. 7). Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

т.е. .

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен

, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Если , то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол . Так как промежутку времени соответствует , то , откуда .

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения.

, откуда .

Угловым ускорением называется Векторная Величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени: .

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис. 8), при замедленном – противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения .

Нормальная составляющая ускорения .

Таким образом, связь между линейными (длина пути , пройденного точкой по дуге окружности радиусом , линейная скорость , тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами: , , , .

В случае равномерного движения точки по окружности ()

, ,

где – начальная угловая скорость.

Закон термодинамики. Тепловые машины и их КПД. Цикл Карно и его КПД. Абсолютная температура. Определение и свойства энтропии. Энтропия идеального газа. Энтропия как функция состояния.

Термодинамика – это раздел физики, изучающий соотношения и превращения теплоты и других форм энергии. В термодинамике имеют дело не с отдельными молекулами, а с макроскопическими телами, состоящими из огромного числа частиц. Эти тела называются термодинамическими системами. В термодинамике тепловые явления описываются макроскопическими величинами — давление, температура, объём, …, которые не применимы к отдельным молекулам и атомам.

Первый закон термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил, (ИЛИ изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе): .

Это выражение в дифференциальной форме будет выглядеть так: , где – бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, – элементарная работа, – бесконечно малое количество теплоты. В этот выражении является полным дифференциалом, а и таковыми не являются.

Второй закон термодинамики указывает направление возможных энергетических превращений и тем самым выражает необратимость процессов в природе. Он был установлен путем непосредственного обобщения опытных фактов.

Есть несколько формулировок второго закона термодинамики, которые, несмотря на внешнее различие, выражают в сущности одно и то же и поэтому равноценны. Немецкий ученый Р. Клаузиус сформулировал этот закон так:

невозможно перевести тепло от более холодной системы к более горячей при отсутствии одновременных изменений в обеих системах или окружающих телах.

Здесь констатируется опытный факт определенной направленности теплопередачи: теплота сама собой переходит всегда от горячих тел к холодным. Правда, в холодильных установках осуществляется теплопередача от холодного тела к более теплому, но эта передача связана с другими изменениями: охлаждение достигается за счет работы.

Другая формулировка принадлежит английскому ученому У. Кельвину:

невозможно осуществить такой периодический процесс, единственным результатом которого было бы получение работы за счет теплоты, взятой от одного источника.

Здесь опять констатируются и уточняются опытные факты. Если, например, паровая машина совершает работу за счет теплоты, полученной от парового котла, то при этом совершаемая работа не является единственным результатом процесса, так как часть теплоты обязательно уходит в атмосферу вместе с отработанным паром. То же самое относится к двигателям внутреннего сгорания и вообще ко всем тепловым двигателям. Иначе говоря, ни один тепловой двигатель не может иметь коэффициент полезного действия, равный единице. Под коэффициентом полезного действия теплового двигателя понимают отношение совершенной машиной работы А к количеству полученной для этой цели теплоты : .

Существуют тепловые двигатели и холодильные машины. Тепловые двигатели – это периодически действующие двигатели, совершающие работу за счет полученной из вне теплоты. Холодильные машины – это периодически действующие установки, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой. В тепловых двигателях используется прямой цикл (если за цикл совершается положительная работа, то он называется прямым циклом), а в холодильных машинах – обратный цикл (если за цикл совершается отрицательная работа, то он называется обратным циклом). Циклом (или круговым процессом) называют процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное.

В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю. Поэтому первое начало термодинамики: (1), т.е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной из вне теплоты. Однако в результате кругового процесса система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтому: , где – количество теплоты, полученной системой, – количество теплоты, отданное системой. Поэтому термодинамический коэффициент полезного действия для кругового процесса: (2)

Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго рода — периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты, — невозможен. Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя (исторически второе начало термодинамики и возникло из анализа работы тепловых двигателей).

Принцип действия теплового двигателя приведен на рис. 87. От термостата (Термодинамическая система, которая может обмениваться теплотой с телами без изменения температуры.) с более высокой температурой называемого нагревателем, за цикл отбирается количество теплоты , а термостату с более низкой температурой , называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты при этом совершается работа .

Чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигателя был равен 1, необходимо выполнение условия , т.е. тепловой двигатель должен был бы иметь один источник теплоты. Однако, согласно Карно, для работы теплового двигателя необходимо не менее двух источников теплоты с различными температурами, иначе это противоречило бы второму началу термодинамики.

Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в холодильной машине, принцип действия которой представлен на рис. 88. Системой за цикл от термостата с более низкой температурой отнимается количество теплоты и отдается за цикл термостату с более высокой температурой , количество теплоты . Для кругового процесса, согласно (1), , но, по условию, , поэтому и или , т.е. количество теплоты отданное системой источнику теплоты при более высокой температуре , больше количества теплоты , полученного от источника теплоты при более низкой температуре , на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.

Однако второе начало термодинамики не следует представлять так, что оно совсем запрещает переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. Ведь именно такой переход осуществляется в холодильной машине. Но при этом надо помнить, что внешние силы совершают работу над системой, т. е. этот переход не является единственным результатом процесса.

Основываясь на втором начале термодинамики, Карно ввел теорему, носящую теперь его имя: Из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей () и холодильников (), наибольшим КПД обладают обратимые машины; при этом КПД обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей () и холодильников (), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела, совершающего круговой процесс и обменивающегося энергией с другими телами), а определяются только температурами нагревателя и холодильника.

Из всевозможных круговых процессов важное значение в термодинамике имеет цикл Карно — цикл, состоящий из четырех последовательных обратимых процессов: изотермического расширения, адиабатного расширения, изотермического сжатия и адиабатного сжатия.

Прямой цикл Карно изображен на рис. 89, где изотермические расширение и сжатие заданы соответственно кривыми 1 — 2 и З — 4, а адиабатные расширение и сжатие — кривыми 2 — З и 4 — 1. При изотермическом процессе , поэтому количество теплоты , полученное газом от нагревателя, равно работе расширения , совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2: . (3)

При адиабатном расширении 2 – 3 теплообмен теплообмен с окружающей средой отсутствует и работа расширения совершается за счет изменения внутренней энергии: . Количество теплоты отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия : . (4)

Работа адиабатического сжатия: .

Работа, совершаемая в результате кругового процесса: , и, как можно показать, определяется площадью, заштрихованной на рис. 89.

Термодинамический КПД цикла Карно, согласно (2), .

Применив уравнение для адиабат 2 – 3 и 4 – 1, получим: , , откуда: . (5)

Подставляя (3) и (4) в формулу (2) и учитывая (5), получаем:

(6)

т. е. для цикла Карно КПД действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника (доказательство теоремы Карно). Для повышения КПД необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника.

Обратный цикл Карно положен в основу действия тепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором.

Теорема Карно послужила основанием для установления термодинамической шкалы температур. Сравнив левую и правую части формулы (6), получим

(7), т. е. для сравнения температур и двух тел необходимо осуществить цикл Карно, в котором одно тело используется в качестве нагревателя, другое — как холодильник. Из равенства (7) видно, что отношение температур тел равно отношению отданного в этом цикле количества теплоты к полученному. Согласно теореме Карно, химический состав рабочего тела не влияет на результаты сравнения температур, поэтому такая термодинамическая шкала не связана со свойствами какого-то определенного термометрического тела. Отметим, что практически таким образом сравнивать температуры трудно, так как реальные термодинамические процессы, как уже указывалось, являются необратимыми.

Понятие энтропии введено в 1865 г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физического содержания этого понятия рассматривают отношение теплоты , полученной телом в изотермическом процессе, к температуре теплоотдающего тела, называемое приведенным количеством теплоты.

Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно . Строгий теоретический анализ показывает, что приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно .

Из равенства нулю интеграла, взятого по замкнутому контуру, следует, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние. Таким образом, . (8)

Функция состояния, дифференциалом которой является , называется энтропией и обозначается .

Из формулы (8) следует, что для обратимых процессов изменение энтропии . (9)

В термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающей необратимый цикл, возрастает: . (10)

Выражения (9) и (10) относятся только к замкнутым системам, если же система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может вести себя любым образом. Соотношения (9) и (10) можно представить в виде неравенства Клаузиуса

, т.е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).

Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то, согласно (8), изменение энтропии (11), где подынтегральное выражение и пределы интегрирования определяются через величины, характеризующие исследуемый процесс. Энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Значение постоянной, с которой определяется энтропия, не играет роли, так как физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропии.

Исходя из выражения (11), найдем изменение энтропии в процессах идеального газа. Так как , , то или (12), т.е. изменение энтропии идеального газа при переходе его из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода .

Так как для адиабатного процесса , то и, следовательно, , т. е. адиабатный обратимый процесс протекает при постоянной энтропии. Поэтому его часто называют изоэнтропийным процессом. Из формулы (12) следует, что при изотермическом процессе (): ; при изохорном процессе (): .

Энтропия обладает свойством аддитивности: энтропия системы равна сумме энтропии тел, входящих в систему. Свойством аддитивности обладают также внутренняя энергия, масса, объем (температура и давление таким свойством не обладают).