Лабораторная работа № 2 Измерение сопротивлений проводников мостиком Уитстона

Приборы и принадлежности: реохорд, стенд сопротивлений (два неизвестных сопротивления), мультиметр цифровой, батарея аккумуляторов, ключ, соединительные провода.

Краткое теоретическое введение.

Вещества, в которых электрические заряды могут свободно перемещаться по всему объему, называют проводниками.

Проводники делятся на две группы: проводники первого рода и проводники второго рода. К проводникам первого рода относятся металлы. Металлы обладают электронной проводимостью, так как их электропроводность обусловлена наличием свободных электронов. По современным представлениям свободными электронами становятся валентные электроны атомов металла, наиболее слабо связанные с ядрами атомов. Эти электроны легко переходят от одного атома металла к другому, являясь как бы “обобществленными” электронами всех атомов. У одновалентных металлов на один атом приходится один свободный электрон. Свободные электроны распределены по всей кристаллической решетке металла, в узлах которой расположены положительные ионы. Положительные ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия, а все электроны проводимости (свободные электроны) участвуют в поступательном тепловом движении. Если к участку проводника первого рода приложена разность потенциалов, то на хаотическое движение электронов накладывается их упорядоченное движение в направлении электрического поля в проводнике. Под действием электрического поля электроны движутся вдоль проводника. На каждый электрон действует сила

,

где е - заряд электрона, - напряженность поля.

Если бы электроны двигались в пустом пространстве, скорость их постоянно увеличивалась бы, соответственно увеличивался бы со временем и создаваемый ими ток. В проводнике этого не происходит - постоянная разность потенциалов создает постоянный ток. Причина этого состоит в том, что электроны в своем движении через кристаллическую решетку постоянно сталкиваются с ионами решетки, отдавая им накопленную в поле кинетическую энергию. Таким образом, положительные ионы металла, колеблющиеся возле своих положений равновесия, препятствуют движению электронов, обусловливая электрическое сопротивление проводника. С увеличением температуры проводника тепловое колебательное движение ионов становится более интенсивным, что ведет к увеличению электрического сопротивления.

В проводниках второго рода (электролиты, расплавленные соли, раскаленные газы) проводимость тока осуществляется подвижными ионами. Ионы вне электрического поля совершают тепловое хаотическое движение. Процесс прохождения электрического тока в проводниках второго рода обусловлен направленным движением ионов в электрическом поле и связан с переносом вещества. С увеличением температуры подвижность ионов увеличивается, а следовательно уменьшается сопротивление проводника.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника сопротивление R выражается формулой

, (1)

где l - длина проводника, S - площадь его поперечного сечения, ρ - удельное сопротивление вещества.

Удельное сопротивление ρ характеризует электропроводящие свойства материала и показывает, какое сопротивление имеет проводник из этого материала длиной в одну единицу длины и поперечным сечением в одну единицу площади.

Единицей измерения удельного сопротивления в системе СИ является Ом·м (ом-метр). На практике часто пользуются внесистемной единицей удельного сопротивления Ом^.м/мм².

Для нахождения сопротивлений проводников существуют различные методы.

Чаще всего сопротивления определяются по результатам измерения тока в проводнике и напряжения на его концах (метод амперметра и вольтметра) и методом сравнения измеряемого сопротивлении с образцовым (метод мостика).

Первый метод основан на непосредственном использовании закона Ома для участка цепи.

(2)

Относительная погрешность при этом

, (3)

связана с неточностью определения силы тока и напряжения.

В мостиковых методах измерения сопротивления не требуется измерять токи и напряжения, поэтому они дают более точные результаты.

Мостик Уитстона предназначается для измерения сопротивления методом сравнения. Он состоит из четырех: сопротивлений R ₁, R ₂, R ₃, R ₄, которые образуют замкнутый четырехугольник АВСD, в одну из диагоналей которого включается чувствительный вольтметр G в другую источник постоянного тока (рис.1).

Сопротивления R ₁, R ₂, R ₃, R ₄ можно подобрать таким образом, что при замкнутых ключах K ₁ и K ₂ потенциалы точек, к которым подключен гальванометр, будут одинаковы (φ _B =φ _D). В этом случае на участке ВD тока не будет (стрелка гальванометра не отклоняется).

Такое положение называется положением равновесия мостика, а процесс подбора сопротивлений для достижения этого положения - уравновешиванием мостика или балансировкой.

Для уравновешенного мостика будет иметь место соотношение

(4).

Это соотношение можно получить, если воспользоваться правилами Кирхгофа. Элементарный вывод формулы (4) состоит в следующем.

Обозначим потенциалы точек А, В, С, D через φ _A, φ _B, φ _C, φ _D, значения токов на участках АD, DС, АВ, ВС соответственно через I ₁, I ₂, I ₃, I ₄.

По закону Ома для участка цепи

, , , .

(5)

При равновесии мостика потенциалы в точках В и D равны, следовательно ток на участке цепи ВD отсутствует. Тогда по первому правилу Кирхгофа для узлов В и D токи I ₁= I ₂, и I ₃= I ₄.

Принимая это во внимание, легко получить, что

Таким образом, уравновесив мостик, можно найти любое одно из четырех сопротивлений, включенных в плечи мостика, если известны три остальные.

Если неизвестным сопротивлением является R ₃ (R ₃= R_x, а R ₄= R) то на основании формулы (4) получим

(6)

Полученное соотношение сохраняется, если гальванометр и источник тока поменять местами.

По конструкции сопротивлений мостики разделяются на магазинные и линейные. В магазинных мостиках известными плечами служат магазины сопротивлений, а в линейных два плеча выполняются в виде калиброванной проволоки (реохорда) со скользящим по ней движком.

В работе предлагается линейный мостик Уитстона (рис.2).

Сопротивлениями R ₁ и R ₂ служат части проволоки, расположенные по разные стороны от движка. Так как сопротивление проволоки пропорционально длине, то отношение сопротивлений участков АD и DС (R ₁ и R ₂) равно отношению длин этих участков l ₁ и l ₂.

Рис. 2

 

(7)

И тогда выражение (6) можно записать в виде

,

(8)

Если длина реохорда l, то l ₂= l-l ₁ и

(9)

Так как сопротивление реохорда сравнительно невелико, мостик Уитстона этого типа применяется, как правило, для измерения небольших сопротивлений (от 1 до 1000 Ом).

Из формулы (9) следует, что относительная погрешность измерения сопротивления таким методом равна:

(10)

Найдем условие минимума погрешности. Очевидно, относительная погрешность будет минимальной, когда знаменатель в выражении (10) будет максимальным. Условием максимума для знаменателя будет выражение

(11)

Откуда

(12)

Таким образом, минимальная погрешность измерения сопротивления линейным мостиком Уитстона будет в том случае, когда при нулевом токе через вольтметр движок стоит на середине реохорда l ₁= l ₂.

Тогда формула (9) принимает вид

(13)

Точность измерения линейных мостиков несколько меньше магазинных.

В предлагаемой работе надо измерить два неизвестных сопротивления и , каждого в отдельности, а также их общее сопротивление при последовательном и параллельном соединении.