Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер

(туннельный эффект)

 

Явление проникновения электрона через потенциальный барьер, в условиях, когда энергия электрона меньше высоты потенциального барьера, называется туннелированием (Т)

 

Соответствующая волновая функция, а через нее и вероятность туннелирования рассчитываются из уравнений Шрёдингера

 

Эта вероятность тем выше, чем геометрически тоньше барьер и меньше разница между энергией падающего электрона и высотой барьера.

 

Т играет большую роль в МЭ, и особенно в НЭ. Этот эффект объясняет такие явления, как

· эмиссия электронов под действием сильного поля;

· прохождение тока через тонкие диэлектрические пленки;

· пробой р-n перехода.

 

В НЭ на эффекте туннелирования работают такие приборы, как:

§ резонансные туннельные диоды и транзисторы,

§ одноэлектронные транзисторы,

§ сканирующий туннельный микроскоп (СТМ).

 

 

Одномерная задача (1-D)

 

 

 

 

U₀ при x > 0

U(x)=

0 при x < 0

 

Условия склейки на границе потенциального барьера должны обеспечивать непрерывность волновой функции в точке х=0

,

 

а также непрерывность производных в этой точке

 

 

Для решения этой задачи необходимо найти волновую функцию, решая уравнение Шредингера:

 

Для I области Для II области

 

 

 

Общее решение для I области

 

 

Для II области

А₁- амплитуда падающей волны;

В₁ – амплитуда отраженной волны;

А₂- амплитуда прошедшей волны;

В₂ – амплитуда волны, двигающейся в противоположном направлении в области II.

 

 

Из физических соображений полагаем В₂ равной 0 (т.к. х→∞ и волна отразиться не может), т.е. в области II нет условий для возникновения отраженной волны, тогда в области II

 

B₁=A₁(k₁-k₂)/ (k₁+k₂); А₂=A₁2k₁/ (k₁+k₂)

В данной задаче имеют физический смысл коэффициент отражения R и коэффициент прохождения частицы D (коэффициент прозрачности).

По определению

,

где - показатель преломления волны де Бройля.

 

Физически R+D=1 – электрон либо отразится, либо пройдет через потенциальный барьер.

 

1.Случай низкого барьера

Частица находится выше барьера Е>U₀, в этом случае k₂ будет действительным числом.

 

 

Тогда из условия склейки

 

 

 

Если барьер низок, то в квантовой механике, в отличие от классической, существует некоторая вероятность того, что частица отразится от барьера.

 

Рассмотрим предельный случай Е=U₀. В этом случае k₂=0,

R=1, D=0, тогда в классической механике частица преодолеет барьер, а в квантовой отразится.

 

2.Случай высокого барьера

 

E<U₀ В этом случае k₂ – комплексное число, т.е. k₂ = ik, тогда - обыкновенная функция, убывающая по экспоненте.

 

Вероятность нахождения частицы за барьером не равна нулю. Отличие от нуля означает, что существует отличная от нуля вероятность события, состоящего в том, что электрон проникнет в область II.

Построим график =f(d)