Основные теоретические положения

1. Задача дисперсионного анализа. Во многих областях практической

деятельности встречаются объекты исследования, состояние которых определяется факторами, не имеющими количественного описания.

Например, рассматривается процесс измерения какой-либо физической

величины рядом операторов параллельно нескольким приборам (или нескольким методам); причем каждый оператор измеряет эту величину всеми приборами (методами). Средние значения наблюдаемой величины, полученные операторами, отличаются друг от друга. Эти различия средних значений может быть связано со случайной погрешностью, систематической приборной (методической) ошибкой и влиянием оператора.

Требуется определить, насколько существенно влияние на результат

измерения двух факторов: прибора (метода) и оператора.

Аналогичная задача возникает при использовании радиодеталей из нескольких партий, при этом надо определить существенно ли отличаются параметры деталей различных партий. Итак, для изучения влияния факторов, не имеющих количественного описания, на исследуемую величину применятся метод дисперсионного анализа.

2. Однофакторный дисперсионный анализ. В общем виде задача однофакторного дисперсионного анализа ставится следующим образом. Пусть наблюдают m независимых случайных величин x_1, x_2,... x_i... x_j, аспределенных нормально с центрами m_x1,m_x2,... m_xm и неизвестной, но одинаковой для всех x _i дисперсией, b².

Пусть над каждыми переменными x _i производится серия из n наблюдений. Данные i -ой серии следующие:

x_i1, x_i2,...x_ij,...x_in (i= 1, 2 ,...m; j= 1, 2 ...n).

Опираясь на эти статистические данные требуется роверить нуль – гипотезу (Н₀) о равенстве математических ожиданий

m_x1=m_x2=...m_xm.

Если проверяемая гипотеза верна, то сопоставление средних

в каждой серии не должно дать значимого расхождения между ними. И наоборот, если такое расхождение обнаружено, то нулевую гипотезу следует отбросить.

Возвращаясь к рассмотренному примеру, положим, что число

операторов равно m и каждый из них производит n замеров некоторой физической величины x (табл.1).

Каждая серия из n измерений x_i1, x_i2,... x_in (i =1,2,... m) представляет

собой выборку объема n из генеральной совокупности измерений отдельного оператора x_i (i =1,2 ,...m).

Итак, общее число измерений величины x_ij (i =1,2,... m – номер оператора, j =1,2 ,...n – номер измерения) равно mn.

ТАБЛИЦА1

№ оператора   № измерений	x1	x2	...	Xj	...
. . . j . . . n	x11 x12 x1j x1n	x21 x22 x2j x2n		Xj1 xi2 xij xin		xm1 xm2 Xmn
Среднее значение в серии	x1	x2		Xi		Xm
Общее среднее

Среднее арифметическое из n измерений i – го оператора обозначим через x_i

(1)

Обозначим через общее среднее арифметическое значение всех mn измерений –

(2)

Все наблюдаемые значения x _ij образуют выборку объемом mn из

генеральной совокупности x, имеющей также нормальное распределение с центром m_x и дисперсией σ² Очевидно, что значение

x (2) является оценкой математического ожидания m_x по данным выборки.

Согласно методу однофакторного дисперсионного анализа надо

сумму квадратов отклонений значений от общего среднего Q₀ разложить на составные части, одна из которых соответствует фактору

изменчивости – Q_f (здесь: оператор), другая – Q_R –влиянию случайных причин (здесь: приборы или методы).

При этом указанные суммы находят по формулам:

² (3)

² (4)

² (5)

Известно [1], что

Q₀ = Q_f +Q_R (6)

Итак, величина Q₀ представляет собой сумму квадратов отклонений

наблюдаемых значений x от общего среднего и называется “общей” или “полной” суммой квадратов.

Величина Q_f это сумма квадратов отклонений средних по группам (сериям) от общего среднего , она называется суммой квадратов отклонений между группами. Q_R является суммой квадратов отклонений значений x_{i j} от средних , в группах и называется сумой квадратов внутри групп (серий).

В практических расчетах обычно вычисляют только общую сумму Q₀

и сумму квадратов между группами Q_f, сумму квадратов внутри групп получают по формуле (6):

Q_R = Q₀ -Q_f (7)

и поэтому её называют “остаточной” суммой.

Суммы квадратов Q₀,Q_f,Q_R, деленные на соответствующие числа

степеней свободы ν₁= mn -1, ν_F = m -1, ν_R = m (n -1), дадут три несмещенные оценки дисперсии σ² в общей выборке x:

S₀² = - общая оценка дисперсии (8)

S_F² = - оценка дисперсии между группами (9)

S_R² = - оценка дисперсии внутри групп (10)

Выполнение дисперсного анализа заключается в сравнивании

оценки S_F ² дисперсии, вызванной изучаемым фактором изменчивости F, и оценкой достаточной дисперсии S_R ², имеющей место уже после того, как влияние фактора F было устранено (т.е. обусловленной исключительно случайными факторами – погрешностью измерений).

Если нуль-гипотеза о равенстве центров распределения верна,

m_x1=m_x2=...m_xm, (11)

то оценки дисперсий S_F ² и S_R ² должны различаться между собой лишь случайно. Проверка данной гипотезы выполняется по критерию Фишера. Для этого находят F – отношение и сравнивают величину F с предельным значением Fт, которое находят по таблице F – распределения при степенях свободы ν_F = m -1 и ν_R= m (n -1), α = 0,05[2,3].

В случае

F < Fт (12)

расхождения между оценками S_F² и S_R² несущественны (с вероятностью p 0,05). Это означает, что нуль-гипотеза подтверждается. Исследователь может считать опытные данные однородными – это означает, что фактор изменчивости не оказывает существенное влияние на среднее значение измеряемых величин в группах.

При

F > Fт (13)

следует, что фактор изменчивости оказывает существенное влияние на данные измерений в группах. Влияние фактора изменчивости значимо.

Порядок выполнения работы.

1. Получить у преподавателя данные нескольких выборок случайной

величины x.

2. Данные выборок представить в виде таблицы 1.

3. Вычислить среднее значение в сериях (i=1,2,… m) и общее

среднее

4. Определить значение сумм квадратов Q_R,Q_0,Q_f

Для удобства вычислений рекомендуется перейти к новым переменным y_ij по формуле

y_ij = x_ij - , (14)

где - ближайшее к общему среднему целое число.

При таком преобразовании переменных формул для сумм квадратов

примут следующий вид:

²= ²+ (15)

²= ²= ;(16)

²= = (17)

В формулах (15), (16), (17) введены следующие обозначения:

S_i = ; T_i = .

Результаты вычислений представляют в виде таблицы 2.

ТАБЛИЦА 2

.

Номер испытаний (j)	Фактор изменчивости
1- ый оператор	2- ой оператор	…	m - ый оператор
y1j	y1j2	y2j	y2j2		ymj	ymj2
. . . n
si		S1		s2		sm
ti	t1		t2			tm
ti2	t12	t22				tm2

 

Затем по формуле (15), (16) с помощью полученных сумм

, ,

находят величины Q_0,Q_{f .} Остаточную сумму квадратов Q_R вычисляют по формуле

Q_R = Q₀ -Q_f

5. Полученные степени свободы ν₀, ν_F, ν_R по формулам:

ν₀= mn -1

ν_F = m -1

ν_R = m (n -1)

6. Вычислить несмещенные оценки S₀², S_F², S_R²

S₀² = ;

S_F² = ;

S_R² = ;

7. Подсчитать значение F - отношения

F = .

При формировании F - отношения в числителе ставится большая из двух оценок дисперсий, т.е. в нашем случае S_F² > S_R²

8. Найти из таблицы F – распределения случайной величины [2,3]

предельное значение Fт, соответствующее уровню значимости α = 0,05 и степеням свободы ν_F и ν_R.

9.Сравнить полученное значение F (n.7) с табличными F_T и сделать заключение о проверяемой нуль-гипотезе Н₀. Если F £ F_Tабл,то гипотеза принимается.

Пример:

Определить, однородны ли результаты измерения напряжения (в вольтах), тремя операторами при использовании измерительных приборов различных типов. Результаты измерений даны в таблице 3.

 

ТАБЛИЦА 3

 

Номер Измерений (j)	1-ый оператор	2-ой оператор	3-ий оператор
= 222

 

ТАБЛИЦА 4

.

Номер измерений (j)	1- ый оператор	2- ой оператор	3- ий оператор
y1j	y1j2	y2j	y2j2	y3j	y3j2
	-1				-10
					-8
					-2
Si
Ti					-20
Ti2

 

В таблице 4 показаны промежуточные вычисления, позволяющие

очень просто найти суммы квадратов Q_R, Q_0, Q_f:

Q₀ = = 226 – 0 = 226;

Q_F = = -0 = 152;

Q_R = Q₀ -Q_f = 268 – 152 =114.

 

Оценки дисперсии при этом:

 

S_F² = ;

S_R² = ;

F – отношение примера равно;

F =

Табличное значение F – отношения:

Fт = 4,26 при α = 0.05, ν _F = m -1, ν _R = m (n -1) = 9

Так как

F = 6 > Fт = 4.26,

то считают измерения неоднородными, т.е. Фактор изменчивости (оператор) играет существенную роль в расхождении средних значений показаний приборов.

 

 

Контрольные вопросы.

 

1. Что называется фактором изменчивости и случайности?

2. Какого типа практические задачи обычно решаются методом

дисперсионного анализа?

3. Как математически формируется задача однофакторного анализа?

4. Как формируются оценки дисперсий (общей, между сериями,

остаточная)? Разброс каких случайных величин они характеризуют?

5. В чем заключается F – критерий Фишера?

 

Литература.

1. Круг Г.К. Статические методы в инженерных исследованиях:

Лабораторный практикум. Бородюк В.П. и др.- М.: В.Ш.,1983.

2. Венцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: В.Ш., 1983

3. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая

статистика. – М.: В.Ш., 1972.

Лабораторная работа № 3.