Системы координат употребляемые в высшей геодезии.

Основные определения и задачи сфероидической геодезии.

Раздел высшей геодезии, в котором рассматриваются математические методы решения геодезических задач на поверхности эллипсоида, называется сфероидическая геодезия.

Закатов П.С. пишет: «геоид – уровенная поверхность, совпадающая в океане с невозмущенной поверхностью воды, мысленно продолженная под материками так, чтобы направления отвесных линий пересекали эту поверхность во всех ее точках под прямым углом».

У Подшивалова записано: «под физической моделью Земли понимают геоид – тело, которое ограничено гладкой, всюду выпуклой поверхностью, в каждой точке которой вектор силы тяжести является нормалью, а поле силы тяжести имеет характеристики поля силы тяжести реальной земли».

У Пеллинена определение геоида такое: «геоид – это уровенная поверхность поля силы тяжести, проходящая через начало отсчета высот».

Пеллинен дальше пишет: «однако средний уровень океана из-за различия температуры и солености воды в различных частях мирового океана и ряда других причин поверхность геоида строго не совпадает с указанным уровнем. Например, в зоне Панамского канала разность составляет 62 см. До 70 см выше уровня Черного моря и морей Северного Ледовитого океана и Тихого океана располагается нуль-пункт Кранштадского футштока. В открытых частях мирового океана отклонение среднего уровня воды от геоида может достигать 1 метра».

Фигуру геоида под районами суши определить невозможно, поэтому в геодезии переходят к определению квазигеоида. Квазигеоид – это такая поверхность, которая однозначно определяется по наземным измерениям, совпадающая с геоидом на морях.

Понятие квазигеоида было впервые предложено М.С. Молоденским.

В зависимости от ориентации в теле Земли различают общеземной эллипсоид, ось вращения и плоскость экватора которого совпадают с осью вращения и плоскостью экватора Земли на некоторую эпоху.

Основные параметры земного эллипсоида и соотношения между ними.

PP₁ – ось вращения;

OEE₁A – плоскость экватор;

OE = a – большая экваториальная

полуось эллипсоида;

OP = b – малая полуось;

 

 

Полярное сжатие: (2)

Первый эксцентриситет: (3)

Второй эксцентриситет: (4)

(5)

; (6)

; (7)

c – полярный радиус кривизны меридиана;

.

Системы координат употребляемые в высшей геодезии.

1. Система пространственных прямоугольных координат:

 

 

1 – Гринвичский меридиан;

2 – плоскость экватора;

OZ направлена по полярной оси эллипсоида;

OY расположена в плоскости экватора, 90^◦ начального меридиана;

M лежит на поверхности эллипсоида;

3 – параллель точки M;

L – геодезическая долгота.

Из точки М проведем линию параллельную ОР, получим точку М₁; проведем линию параллельную ОХ, получим точку М₂.

Координаты точки М:

Х_м = М₁М₂;

Y_м = ОМ₂;

Z_м = ММ₁.

Достоинство этой системы координат – можно использовать в космической геодезии.

2. Система прямоугольных прямолинейных координат, отнесенных к плоскости меридиана данной точки:

x = OM_Ι

y = MM_Ι

x_max = a

y_max = b

 

PR₁P₁R – меридианный эллипс,

проходящий через точку M.

 

 

Для практических вычислений координаты в этой системе не используются.

 

 

3. Система геодезических координат:

1 – гринвичский меридиан;

PP₁ – ось вращения эллипсоида;

PMRP₁ – геодезический меридиан

точки M;

L – геодезическая долгота;

B – геодезическая широта;

Mn – нормаль к эллипсоиду;

n – пересечение нормали с осью эллипсоида.

 

Это основная система сфероидической геодезии.

Достоинства этой системы координат:

- система едина для всей поверхности эллипсоида;

- не требует дополнительных построений, так как координатные линии это параллели и меридианы;

- определяет положение нормали в данной точке, а это важно при изучении уклонений отвесных линий.

В пространственных координатах здесь используется H – высота точки над эллипсоидом.

H – отрезок нормали от точек физической поверхности до точки на эллипсоиде.

 

 

4. Система геоцентрических координат:

r – геоцентрический радиус -

вектор;

φ – геоцентрическая щирота;

 

5. Система координат с приведенной широтой и геодезической долготой.

1 – меридианный эллипс;

2 – окружность с центром в т.О;

u – приведенная широта;

В – геодезическая широта;

ОМ = r – геоцентрический радиус-

вектор.

 

 

4. Связь между разными системами координат.

(6)

; (7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Из формулы 9 следует, что (14)

(*), где S и Z отвлеченные величины, а в зависимости от k можно получить формулы с 11-ой по 14-ую.

S	Z	k	формулы
u	B		(12)
	u		(13)
B	u	-1	(12)
u		-1	(13)
	B		(14)
B		-2	(14)

 

, где W – первая функция широты.

(15)

, где V – вторая функция широты.

, ;

.

5. Связь между различными системами координат в пространстве.

Рассмотрим пространственную геоцентрическую систему координат.

L – долгота;

x, y – меридианные координаты эллипса;

а – большая полуось эллипсоида;

е – эксцентриситет эллипсоида;

u – приведенная широта;

N – радиус кривизны первого вертикала;

H – геодезическая высота;

B – геодезическая широта.

, где W – первая основная функция геодезической широты.

M – радиус кривизны меридиана:

Радиус кривизны произвольного нормального сечения:

, где А – азимут.

R_o^◦ = M; R₉₀^◦ = N

 

; ;

ны:

;

следовательно, N=c/V, где с – полярный радиус кривизны меридиана.

;

Неравенство N<R<M используется для контроля вычислений.

Рассмотрим формулы перехода от Х,Y,Z к B,L,H и обратно.

Для определения четверти L (смотреть рисунок):

 

 

 

(15), где

(16)

, где - геоцентрическая широта, (17)

(18) – требуется до пяти приближений.

(19)

(20)

Подставив формулу (20) в формулу (15) получим:

(21)

 

6. Длинна дуги меридиана.

dS = M*dB, где dS – малое расстояние на эллипсоиде по меридиану; M – радиус кривизны меридиана, dB – малая разность широт.

,

От дифференциального уравнения перейдем к интегральному. Интегрируем по S и B:

;

Это эллиптический интеграл, следовательно, для его нахождения применим ряд:

 

универсальные формулы для любых

размеров эллипсоида

 

Для средней широты имеем:

удобно пользоваться в градусных измерениях.

Для расстояний 400 км:

дает ошибку в длине 1мм.

Для расстояний меньше 45 км:

, где и , где N – радиус кривизны первого вертикала.

 

7. Вычисление длинны дуги параллели.

- радиус параллели;

B – широта;

N – радиус кривизны первого вертикала;

l^’’ – разность долгот в секундах.

l^’’= (2)*S’*secB.

 

 

8. Расчет рамок съемочных трапеций.

 

 

Площадь трапеции:

e – основание натурального логарифма;

b – малая полуось.

 

9. Кривые на эллипсоиде вращения.

A,Б – точки на эллипсоиде на

разных меридианах;

Аn_a – нормаль к эллипсоиду

в точке А;

Bn_b – нормаль к эллипсоиду

в точке B;

 

 

Проведём плоскость через три точки Аn_аВ. В этой плоскости лежит нормаль Аn_а. Эта плоскость называется нормальной плоскостью в точке А, проходящей через точку В. Кривая АаВ есть прямое нормальное сечение в точке А на точку В.

Плоскость, проходящая через три точки Bn_bА, образует на эллипсоиде нормальное сечение из точки В на точку А. Это новая плоскость оставит след на эллипсоиде b.

Кривая BbA будет не совпадать с а. b – называется кривая обратного нормального сечения.

а не совпадает с b потому что нормали Аn_а и Bn_b не лежат в одной плоскости. Нетрудно заметить, что несовпадение прямых и обратных нормальных сечений приводит к тому, что измеренные горизонтальные углы на трех пунктах не образуют на поверхности эллипсоида замкнутого треугольника, фигура получится разорванной.

 

В сфероидической геодезии точки на поверхности эллипсоида соединяются геодезическими линиями (это кратчайшее расстояние между двумя точками). Из дифференциальной геометрии известно, что в каждой точке геодезической линии главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности.

Если треугольник будет состоять из геодезических линий, то фигура не будет разорванной.

 

Δ – угол между взаимообратными сечениями. δ – угол между геодезической линией и прямым нормальным сечением

При этом геодезическая линия на поверхности эллипсоида делит угол Δ в отношении 1:2 и располагается ближе к прямому нормативному сечению, то есть .

Из теоремы Клеро известно:

, где А – азимут; u – приведенная широта.

Зная, что , можем записать:

Исходя из этой формулы, запишем в окончательном виде формулу для вычисления :

;

Здесь Aⁿ – азимут нормального сечения.

;

 

 

Решение малых сферических и сфероидических треугольников.

 

Для сферического треугольника: А+С+В=180◦ + Ɛ, где Ɛ – сферический избыток. , где P – площадь треугольника, R – средний радиус кривизны эллипсоида на район работ.

Введем обозначения:

,тогда

A₁, B1, C1 – плоские приведенные углы.

По теореме Лежандра:

;

;

.

Если треугольник с большими сторонами, то его следует рассматривать как сфероидический треугольник:

;

;

.

;

– гаусова кривизна вершин треугольника ABC.

S – стороны равностороннего треугольника,

если S = 60 км, то Ɛ = 8’’;

если S = 30 км, то Ɛ = 2’’;

если S = 20 км, то Ɛ = 1’’;

если S = 10 км, то Ɛ = 0,25’’;

если S = 5 км, то Ɛ = 0,07’’.

 

Решение треугольника по теореме Лежандра:

Измеренные углы		Уравненные сферические углы.		Углы плоского треугольника	sin	Стороны сферического треугольника
Bизм						b известно
Aизм						a
Cизм						c
		Ʃ=180◦ +Ɛ		Ʃ=180◦

 

 

Применение способа аддитаментов:

Измеренные углы		Уравненные сферические углы		Приближен.стороны	Аддита-менты	Стороны сферич.тре-угольника
Bизм				b’	Ab	b известно
Aизм				a’	Aa	a
Cизм				c’	Ac	c

 

; ; ;

;

;

.

 

 

Общие сведения о вычислении широт, долгот и азимутов.

 

Будем рассматривать задачу вычисления координат точек на поверхности эллипсоида вращения.

Здесь изучим методы вычисления геодезических координат.

 

На плоскости:

Прямая задача: Дано:x₁,y₁,S,α

Найти: x₂,y₂

Обратная задача: Дано:x₁,y₁,S,α

Найти: x₂,y₂

 

На эллипсоиде:

Прямая задача: Дано: B₁,L₁,S_1,2,A_1,2

Найти: B₂,L₂, A_2,1

Обратная задача: Дано: B₁,L₁,B₂,L₂

Найти: S_1,2,A_1,2, A_2,1

Прямая и обратная задачи называются главными геодезическими задачами.

 

Рассмотрим расстояние S_1,2:

Они бывают: малые – 30-45 км;

средние – 300 км;

большие – до 5000 км;

очень большие – до 19000 км.

A,B – точки на эллипсоиде; Р – полюс; РА и РВ – меридианы; l – разность долгот такая, что L2 = L1 + l. Для решения главное геодезической задачи используют два пути: - прямой; - косвенный.

Прямой путь решения: решаем сфероидический треугольник PAB.

Косвенный путь: вычисляем разности:

;

;

Тогда во втором косвенном пути:

;

;

.

Поговорим о точности вычислений:

, где - точность положения на плоскости;

M – радиус кривизны меридиана;

- ошибка широты.

если , то , следовательно ,

При расстояниях 25 км вычисления B и L требуется выполнить с семью значными цифрами, а азимут А до сотых.

Рассмотрим формулы решения прямой геодезической задачи косвенным способом:

, – средняя широта и азимут.

-радиус кривизны меридиана для средней широты.

– радиус кривизны первого вертикала.

Для решения этой задачи необходимы приближения.

Обратная геодезическая задача:

расстояние , контроль ,

 

Решение главной геодезической задачи по способу Бесселя.

Задача решается на эллипсоиде путем конформного преобразования на поверхности шара.

Сделаем чертеж:

На эллипсоиде: AB – длина геодезической линии; l – разность долгот.

 

На шаре имеем 3 точки.

δ – длина стороны на шаре; u1,u2 – приведенные широты; m – сторона прямоугольного сферического треугольника.

Рассмотрим решение прямой геодезической задачи на эллипсоиде:

По теореме Клеро:

δ – зависит от δ, т.е. задача решается методом приближений.

, , ;

;

;

;

;

;

В первом приближении

(Ф.1)

Далее вычисляют , w, и u₂ по формулам:

Из треугольника A₁P₁B₁ вычисляют , w, и u₂ по двум сторонам 90-u, и углу A_2.

Далее находят разность долгот:

(Ф.2)

;

(Ф.3)

Решение обратной геодезической задачи по способу Весселя:

1)

2) .

разность находим по формуле Ф.3.

3) Вычислим w по формуле Ф.2.

4) Находим А_1,2 и А_2,1 из сферического треугольника A₁P₁B₁

5) Находим сторону S по формуле Ф.1.

Это единственный способ позволяющий решать задачи до 20000 км.