Теорема об изменении кинетической энергии

Пусть взаимодействие тел друг на друга осуществляется силовыми полями (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), которые характеризуются тем, что работа, совершаемая действующими в системе силами при перемещении тела из первое положения во второе, не зависит от траектории, по которой это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений системы. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, - консервативными. В случае, если работа силы зависит от траектории перемещения тела из одного положения в другое, то такая сила называется диссипативной; примером диссипативной силы является сила трения.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией P. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении состоянии системы равна приращению потенциальной энергии, взятому с отрицательным знаком, так как работа производится за счет уменьшения потенциальной энергии:

(2)

Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение (2) примет вид

(3)

Значит, если известна функция P(r), то из (3) можно найти силу F по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть найдена, используя (3) как

где С - постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Но это не отражается на физических законах, они спользуют или разность потенциальных энергий в двух различных положениях тела, или производная P по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают удобный для решения прикладных задач нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно выбранного нулевого уровня. Для консервативных сил

или в векторном виде

(4)

где

(5)

(i, j, k - единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (5), называется градиентом скаляра P.

Для него наряду с обозначением grad P применяется также обозначение . (<набла>) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

(6)

Конкретный вид функции P зависит от вида силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

(7)

где высота h отсчитывается от выбранного нулевого уровня, для которого P₀=0. Выражение (7) следует из того, что потенциальная энергия тела равна работе силы тяжести при падении данного тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета можно выбрать произвольно, то потенциальная энергия может быть величиной меньшей нуля (при этом кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты, глубина которой h', P= -mgh'.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна испытываемой телом деформации:

где F_{x_upr} - проекция силы упругости на ось x; k - коэффициент упругости (для пружины - жесткость), а знак минус указывает, что F_{x_upr}направлена в сторону, противоположную деформации x.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположна ей по направлению:

Элементарная работа dA, совершаемая силой F_x при бесконечно малой деформации dx, равна

а полная работа

тратится на увеличение потенциальной энергии пружины. Значит, потенциальная энергия упругодеформированного тела