Економіко-математична модель оптимізаційної задачі

Висока складність техніко-економічних задач робить неможливим їх аналіз засобами математики з урахуванням усіх можливих деталей. Для вивчення конкретної системи завжди доводиться абстрагуватися від ряду явищ, що протікають в системі. Така наукова абстракція дозволяє виділити найбільш важливі для даного дослідження характеристики системи (структуру, зв’язки, зразки поведінки та ін.) із множини реально існуючих характеристик даної системи. Таким чином деяка система „О” замінюється деякою нетотожною їй системою „М”, але аналогічною їй тільки за характеристиками, що досліджуються. Така заміна доцільна у тому випадку, коли система „М” потребує для свого створення та аналізу значно менше ресурсів, чим система „О”. Нова система „М” називається моделлю системи „О”.

Моделі бувають фізичними. Так для вивчення аеродинамічних властивостей проектуємих літаків в аеродинамічних трубах обдуваються їх зменшені моделі. На лабораторних роботах з УЕР використовується модель диспетчерської ділянки і т. і.. Такі моделі відзначаються високою вартістю та значними витратами часу на побудову.

Для дослідження систем за допомогою математичного апарату створюються абстрактні моделі, що виражаються в математичних символах, або зображуються у вигляді креслень чи графіків, що підлягають математичній обробці. Такі моделі називаються математичними моделями.

За допомогою моделювання проблему вибору найкращого варіанту вдається звести до більш або менш відповідної (адекватної) математичної задачі пошуку оптимуму. Ступінь близькості отриманого рішення до реально оптимального залежить від таких факторів як: відповідність вибраного критерію оптимальності реальним цілям оптимізації; повнота відображення в моделі всіх суттєвих виробничо-економічних факторів, вимог та взаємозв’язків; достовірність вхідної інформації, можливість її своєчасного отримання та стійкість у часі числових даних та залежностей; ступінь та способи укрупнення (агрегації) вхідних даних; точність методів рішення задачі.

Математична модель будь-якої оптимізаційної задачі включає наступні основні елементи.

Змінні, або керовані параметри – множина невідомих величин, числові значення яких визначаються у ході рішення і дають досить повні пояснення по раціональній організації процесу;

Обмеження задачі – символьний запис обов’язкових умов організації процесу. Як правило обмеження мають вигляд рівнянь або нерівностей. Визначення системи обмежень є однією з найбільш відповідальних стадій процесу розробки економіко-математичних моделей. Воно потребує детального вивчення технології процесу, консультацій зі спеціалістами, узгодження з працівниками, що безпосередньо будуть керувати процесом. При цьому існує дві небезпеки: пере ускладнення та переспрощення моделі у порівнянні з дійсністю. У першому випадку ускладнюється підготовка вихідних даних та процес розв’язання задачі; у другому може бути отримана неадекватна модель, отримані результати за допомогою не будуть мати сенсу.

Техніко-економічний зміст обмежень досить різноманітний та залежить від задачі. Найбільш характерними обмеженнями є наступні.

1. Завдання по обсягам робіт, які являють собою рівняння, або нерівності, що дозволяють перевиконання завдань.

2. Обмеження по обсягам ресурсів, які являють собою нерівності, що дозволяють недовикористання ресурсів.

3. Обмеження, що задають балансові співвідношення між змінними: суми окремих змінних повинні рівнятись між собою, або відрізнятись на якусь величину.

4. Вимоги типізації та стандартизації технічного обладнання та технологічних процесів.

Можливі і інші види обмежень.

Критерій оптимальності – той чи інший техніко-економічний показник, зведення якого до максимуму, чи мінімуму свідчить про найбільш повне досягнення цілей оптимізації. Запис критерію у вигляді функції від змінних задачі називається цільовою функцією.

Основні моделі систем

Найбільш простою моделлю систем є функціональна модель, що відбиває її цільову спрямованість і відособленість від середовища. Така модель ще називається “ чорною скринькою ”. Назва образно підкреслює повну відсутність даних про внутрішній зміст “ скриньки ”: в цій моделі задаються, фіксуються, перелічуються тільки вхідні і вихідні зв’язки системи із середовищем. У багатьох випадках достатньо змістовного опису входів і виходів, тоді модель є просто списком.

Основна небезпека при роботі такими моделями – можливість неповноти складання переліку входів і виходів.

Субстанціональна модель повністю описує внутрішній устрій системи і дозволяє визначати причини явищ. Основним недоліком такої моделі є суттєва складність її побудови.

Структурна модель містить відомості лише про структуру системи і за своєю складністю займає проміжне значення між функціональною та субстанціональною моделлю.