Марківська модель заміщення чинників виробництва

Зосередьмось тут на аспекті, пов’язаному з реакцією фірми та галузі на зміну ринкової кон’юнктури. А власне, на заміщенні чинників виробництва, викликаному зміною їхніх цін.

Модель ґрунтується на досить абстрактному положенні: фірми здійснюють пошук більш дешевих технологій виробництва.

У заданий період часу кожна фірма характеризується певним обсягом основного капіталу й функціонує за однією технологією виробництва (коефіцієнти постійні). Вважатимемо, що правило прийняття рішень щодо випуску є негнучким; отже, технологія та обсяг капіталу фірми однозначно визначають її випуск і змінні витрати в певний період часу. Галузі відповідає спадна крива попиту на її продукцію. Від періоду до періоду фірми розширюються чи скорочуються згідно зі своєю рентабельністю, здійснюючи пошук кращих технологій. Коли фірма шляхом пошуку знаходить нову технологію й застосовує її, весь вільний капітал фірми переміщується на застосування цієї технології. Випуск, витрати й середнє співвідношення витрат у галузі еволюціонують у часі залежно від того, як у фірм змінюються капітали і технології.

Для спрощення вважатимемо, що для всіх технологій має місце однакова капіталоємність, зосередившись на змінних чинниках виробництва. Порівняймо вплив двох режимів постійних цін на змінні чинники виробництва за відмінних відносних цін. Формальний аналіз обмежимо випадком двох видів уживаних чинників, хоча це можна поширити й на більш загальний випадок.

У центрі цілей моделі — процес пошуку ефективної технології індивідуальною фірмою.

Нехай q, k, x ₁, x ₂ — відповідно рівень випуску, основний капітал та обсяги двох видів змінних витрат. Вважатимемо, що k / q постійні для всіх можливих технологій. Технології різняться, зокрема, коефіцієнтами витрат . Пошук фірми полягає в дослідженні деякої альтернативної технології з розподілу множини альтернативних технологій в околі її переважаючої технології. Якщо знайдено технологію дешевшу за переважаючих цін w ₁ і w ₂, ніж поточна, тобто якщо , то фірма переходить до альтернативної технології ; у про­тилежному випадку вона залишається з технологією (а ₁, а ₂).

Друге припущення полягає в тому, що пропорційні зміни коефіцієнтів витрат розподілені незалежно від переважаючих коефіцієнтів. Тому зручно описувати процес у просторі логарифмів коефіцієнтів витрат. Оскільки особливий інтерес становить еволюція співвідношень чинників виробництва, то зручно характеризувати технологію логарифмом відношення її коефіцієнтів:

Щоб задати положення технологій у двовимірному просторі логарифмів коефіцієнтів витрат, то окрім координат U задають другу координату — перпендикулярну першій, тобто:

Очевидно, що за заданого значення на координатній осі U технологія з меншим значенням по координаті V є кращою, ніж технологія з більшим значенням по цій координаті. Геометричне місце точок у просторі (а ₁, а ₂), на котрому V = const можна трактувати як ізокванту виробничої функції Кобба—Дугласа з рівними значеннями показників степеня (еластичності) за умови наявності двох чинників виробництва.

Розглядатимемо злічену впорядковану множину можливих технологій, що включає скінченну сукупність значень U, перенумерованих від 1 до N, і нескінченну множину значень V, від – ¥ до + ¥.

Технології розрізнятимемо згідно зі значеннями U та V на ціле, кратне константі D (D — довільна), її роль можна було б з таким самим успіхом подати й відповідним обранням основи логарифму. Нехай u ₁, u ₂, …, u_N і …n_–2, n_–1, n₀, n₁, n₂, … є різними можливими значеннями U та V. Під технологією (i, j) матимемо на увазі технологію, що характеризується парою:

Тут u ₀ — константа, відносно котрої оцінюється діапазон змін розглядуваних співвідношень чинників виробництва, а щодо D, то, по суті, це відповідає пропорційній різниці між суміжними в даній упорядкованій множині коефіцієнтами витрат. Бачимо, що:

Тепер можна описати схему пошуку. Нехай (i, j) — технологія деякої фірми в момент часу t, тобто:

Результат пошуку визначається парою випадкових цілих чисел (G_t, H_t), котра, по суті, є кількістю кроків, зроблених фірмою в просторі U та V за обмеження, що U може варіювати лише між u ₁ та u_N:

Випадкові змінні (G_t, H_t) вважатимемо незалежними від (U_t, V_t) та від усіх попередніх значень (U, V), вони спільно розподілені в обмеженій області – B £ (G, H) £ B. Вважатимемо їх індек­сованими як за номерами фірм, так і за періодами часу. Вони також однаково розподілені й незалежні як за фірмами, так і в часі. Якщо технологія , отримана в результаті пошуку, витримує описаний вище тест на зниження витрат, то:

У протилежному разі:

Зазначимо, що розподіл альтернатив, віднайдених пошуком, вважається не залежним від цін чинників виробництва, але ціни впливають на розподіл імовірностей прийнятих до застосування альтернативних технологій через тест на скорочення витрат.

Ця схема пошуку й тестування визначає розподіл умовних імовірностей технологій на період (t + 1) за умови, що технології в період t та цей розподіл залежать від розподілу (G, H) і від цін чинників виробництва (припускається, що ймовірність «накопичується» на граничних значеннях u ₁ i u_N).

Зі зроблених припущень випливає, що послідовність технологій, які фірма застосовує в часі, утворюють марківський ланцюг. Суттєвою властивістю цього ланцюга є, зокрема, те, що послідовність співвідношень чинників виробництва фірми exp (U_t) сама є марківським ланцюгом (фактично скінченним марківським ланцюгом з постійними в часі перехідними ймовірностями). Це випливає з того, що exp (V_t) у нерівності порівняння витрат скорочується.

Співвідношення чинників виробництва фірми можна описати матрицею F перехідних імовірностей розмірністю (N ´ N):

де стан і асоціюється зі співвідношенням чинників виробництва exp (u_i), а f_ik — імовірність того, що стан і настає після стану k. Ця матриця постійна в часі, але залежить від цін чинників.

Важливими є, зокрема, дві властивості матриці F. Перша полягає в тому, що зі зростанням співвідношення цін w ₁/ w ₂ зростає й умовна ймовірність станів з більшими номерами (більше а ₁/ а ₂) за умови будь-яких (без винятку) початкових значень а ₁/ а ₂. Конкретно, якщо — коефіцієнти, що виникають у результаті збільшення відносної ціни змінного чинника 1, маємо:

(11.1)

Якщо матриці та формуються в результаті застосування описаної вище схеми пошуку й тестування, то в такій формі ця властивість має місце також у загальному випадку. В цьому можна переконатися, порівнюючи за заданої початкової пари (а ₁, а ₂) область у просторі коефіцієнтів витрат, які задовольняють тест на порівняння витрат за умови двох різних співвідношень цін чинників виробництва. Коректність щодо такого порівняння випливає з припущення про те, що породжений пошуком розподіл альтернатив не залежить від цін.

Друга властивість полягає в тому, що стовпчики матриці F впорядковані згідно зі співвідношеннями, наведеними вище:

(11.2)

Тобто умовна ймовірність переходу до стану з меншим номером зі стану з більшим номером менша, ніж та сама імовірність за умови переходу зі стану з меншим номером. Ця математична властивість відповідає економічній ідеї про те, що пошук є «локальним», тобто охоплює прирощувані модифікації існуючих тех­нологій. Локальний пошук навряд чи дуже змінює співвідношення чинників виробництва, і найбільш імовірними є співвідношення, відносно близькі до початкового. Імовірність завершити пошук співвідношенням нижчим, ніж будь-яке конкретне значен­ня, буде, таким чином, вищою, якщо в початковому стані це співвідношення відносно невелике. Тобто вважатимемо, що (11.2) виконуватиметься для матриці F. Уважатимемо також, що нерівності (11.1) та (11.2) виконуються строго.

Під час зростання відносної ціни чинника 1 фірму можна характеризувати за допомогою конкретного співвідношення:

Розподіл імовірностей на N станах марківського ланцюга в цій точці описується одиничним вектором d _і, в якого на і -му місці знаходиться одиниця, а решта значень координат дорівнює нулеві. Починаючи з часу t й далі еволюція співвідношення чинників виробництва фірми управляється не матрицею перехідних імовір­ностей , а матрицею F. Вважають, що ; це означає, що кожен стовпчик показує деяке зміщення ймовірностей у напрямку станів з більшими номерами щодо відповідного стовпчика матриці F. Очевидно, що за умови t > t:

тобто зміна співвідношення цін зсуває розподіл імовірностей співвідношення чинників виробництва в кожен період часу після t у напрямку більш високих значень . Такий самий зсув матиме місце й у граничному переході, коли розподіл імовірностей стану збігається до стаціонарного розподілу, котрий не залежить від початкових умов.

Розгляньмо тепер, що відбувається із середнім співвідношенням чинників у галузі. Попередній аналіз застосовується до кожної індивідуальної фірми з тим застереженням, що в загальному випадку в різних фірм у період t спостерігаються різні співвідношення чинників виробництва exp (U _t) і різні значення V _t. Зміна ціни чинників виробництва зміщує розподіл імовірностей після часу t у напрямку більш високих значень для всіх без винятку фірм. Дивлячись з моменту часу t у віддалене майбуття, можна припустити, що в усіх фірм розподіл імовірностей сходиться до стаціонарного розподілу, що асоціюється з матрицею ймовірностей переходу . Звідси ясно, що розподіл імовірностей незваженого середнього у кожен період t > t зміщується зі зміною ціни в стандартному напрямку та що сподіване (середнє) співвідношення за великих значень t зростає від до , де та — вектори стаціонарних імовірностей, асоційовані з матрицями та відповідно.

Зазначимо, що дійсний агрегований стан співвідношення х ₁/ х ₂ у галузі є середньозваженим згідно з питомою вагою капіталу фірми, співвідношенням індивідуальних фірм. Це означає, що у зміні співвідношення для галузі беруть участь поряд з уже проаналізованими пошуковими ефектами також селекційні ефекти, що й створює деякі ускладнення. Формально нехай I_im (t) = 1, якщо за час t у фірми (m) U_t = u_i; у протилежному разі I_im (t) = 0. Тобто I_im (t) для кожного m — N -мірний вектор, котрий показує, у якому стані марківського процесу співвідношень чинників вироб­ництва перебуває фірма в час t.

Припустімо, що Z_m (t) — частка капіталу фірми m:

Тоді співвідношення чинників виробництва у галузі загалом можна записати як:

Обчислимо математичне сподівання :

З наведеного вище аналізу випливає, що для великих t (та для усіх m) приблизно дорівнює (порівняно зі значеннями S_i за відсутності зміни ціни чинника виробництва). Оскільки сума часток (питома вага) капіталу дорівнює одиниці — це означає, що E (a(t)) відрізняєтьсявід незваженого середнього, котре було розглянуто дещо вище, сумою коваріаційних складових.

Суттєві запитання, що виникають у зв’язку з наявністю цих коваріаційних складових: чи може зміна цін чинників виробництва привести до деякої неочевидної зміни коваріації та чи суттєво це вплине на поведінку агрегованого співвідношення чинників виробництва у галузі? На них поки що немає чіткої відповіді. Припущення щодо локального характеру пошуку означає, що стан фірм у діапазоні можливих чинникоінтенсивностей може, зокрема, бути приблизно постійним у часі.

Якщо це так, то ця зміна цін чинників виробництва, задаючи імпульс конкретному станові галузі в момент t = t, у наступні періоди, ймовірно, спричинить прояв селекційного впливу в стандартному напрямку. За великих змін цін можливою є тривала перехідна фаза, протягом якої пошукові ефекти поступово перемістять співвідношення чинників виробництва в зовсім іншу область. Якщо за конкретної реалізації процесу деяка фірма випереджає решту в розумінні руху співвідношення чинників виробництва в правильному напрямку, то у неї настане момент, коли її досвід щодо скорочення витрат буде кращим, ніж у інших і, отже, вона відносно більше зростатиме. Таким чином, можна припустити, що коваріації між частками капіталу й співвідношенням чинників виробництва частково відображають роль механізму відбору в галузі як реакцію на зміну цін.

Якщо намагатися зазирнути в більш віддалене майбутнє, то можна припустити, що всі індивідуальні фірми деякої галузі будуть розподілені за своїм співвідношенням чинників виробництва відповідно до стаціонарних імовірностей . Досвід скорочення витрат пов’язаний зі співвідношенням чинників виробництва, а співвідношення чинників виробництва змінюється від періоду до періоду, частка капіталу фірми в галузі відображає її історію, в якій більш віддалені в часі періоди відіграють суттєво малу роль. Тому виглядає досить правдопо­дібним припущення, що коваріація між співвідношеннями чинників виробництва й частками (питомою вагою) капіталу в граничному переході прямує до нуля, коли час прямує до нескінченності. Доведення цього припущення вимагає побудови більш деталізованих та складних економіко-математичних моделей щодо процесу зростання фірм. Заслуговує на увагу також формалізоване дослідження тенденцій структури галузі в довготерміновій перспективі.

Взагалі кажучи, у межах еволюційної теорії економічних змін робляться лише перші кроки до розбудови адекватних математичних моделей, які, використовуючи сучасний математичний апарат та комп’ютерні технології, можуть стати суттєвим доробком у розвитку економічної науки.

 

 

[1] Нельсон Р., Уинтер С. Эволюционная теория экономических изменений. — М.: ЗАО «Финстатструктура», 2000.