Бесконечные неабелевы группы

Пример 1. Бесконечные матрицы

Специфика бесконечных матриц полностью выявляется при попытке умножать их. А именно, умножение бесконечных матриц не всегда определено.

В алгебре рассматриваются матрицы с коэффициентами из произвольного ассоциативного кольца R с единицей, тем самым накладываются другие условия конечности, типа конечнострочности или конечностолбцовости. Кроме того, умножение может быть определено, но бывает неассоциативным. В третьих, обратимость бесконечных матриц ведет себя странно, существуют, например, бесконечные матрицы имеющие бесконечное число обратных.

??(Множество дробно-рациональных функций)

Пример 2. Группа всех самосовмещений прямой в какой-либо проходящей через нее плоскости.

Эта группа состоит: из скольжений прямой по себе (самосовмещеиия первого рода) и из поворотов прямой в выбранной плоскости на угол 180° вокруг любой из ее точек (самосовмещения второго рода). Группа самосовмещений прямой некоммутативна.

Доказательство:

Чтобы убедиться в том, чтогруппа самосовмещений прямой некоммутативна, достаточно перемножить два самосовмещения, из которых одно первого, а другое — второго рода: результат этого перемножения изменится при изменении порядка сомножителей. Очевидно, все самосовмещения второго рода можно получить, перемножая (т. е. последовательно осуществляя) всевозможные скольжения прямой с одним каким-нибудь поворотом на 180° (т. е. поворотом на 180° вокруг одной определенной, но произвольно выбранной точки этой прямой).
Скольжения прямой по самой себе составляют подгруппу всех ее самосовмещений. Эти скольжения суть единственные перемещения прямой самой по себе. Каждому скольжению прямой самой по себе взаимно однозначным образом соответствует некоторое действительное число, указывающее, на какую длину и в каком из двух возможных направлений мы сдвинули прямую по ней самой. Отсюда легко заключить, что группа всех скольжений прямой по самой себе изоморфна группе действительных чисел (с операцией обыкновенного арифметического сложения в качестве групповой операции).

 

 

Пример 3. Группа M всех движений плоскости.

 

Доказательство

Докажем, что множество движений плоскости D с заданной композицией является группой, причем группой аддитивности:

1) Докажем, что композиция двух движений есть движение:

Пусть и - движение - преобразование. Рассмотрим образы любых двух точек при каждом движении.

то есть,

Доказать .

Действительно, т.к. - движение, следовательно .

- тоже движение. Следовательно, . Следовательно, . Следовательно, f – движение ().

 

2).Докажем ассоциативность композиции движений.

Действительно, если рассмотреть образы двух точек M и N, то очевидно, что расстояние между ними не изменится, если выполнить преобразование g или e.

 

3).Покажем, что на множестве D существует нейтральный элемент, то есть:

. - нейтральный элемент: тождественное преобразование e: .

 

4).Покажем, что для любого движения существует обратное, то есть: .

Действительно для любого существует симметричный элемент. Для - сама является для себя симметричным элементом, так как .

 

 

Группы преобразований

Группы подстановок

Пусть Х – некоторое множество. Группой подстановок множества Х называется группа

G(X) = { f: X →X | f - биекция},

в которой алгебраической операцией является композиция отображений, нейтральным элементом – тождественное отображение, а обратный элемент для биекции f – это биекция f^-1 (где f^-1(f(x))=x). Элементы группы G(X) называются подстановками множества Х. Если множество Х бесконечно, то и группа G(X) – бесконечна, а если | X | > 2, то G(X) – неабелева группа.

Пример 1. Совокупность всех подстановок из трех элементов (симметрическая группа третьей степени) образует конечную неабелеву группу.

Из трех чисел 1, 2, 3 можно сделать следующие подстановки:

 

Каждая подстановка заключается в том, что на место числа, стоящего в верхней строчке, ставится подписанное под ним число из нижней строчки. Первая Подстановка P₀ называется тождественной, в ней каждое число остается на своем месте. Вторая подстановка P₁ заключается в том, что число 1

остается на месте, число 3 ставится на место числа 2, а число 2 — на место числа 3 и т. д.

По определению, будем считать, что перемножить две подстановки, значит последовательно произвести их одну за другой. В результате получится опять подстановка, называемая произведением двух данных подстановок. Например, перемножим P₂ и P₅. В силу первой подстановки единица заменится

двойкой, в силу второй подстановки эта двойка останется на месте; итак, после последовательного совершения обеих подстановок единица перейдет в двойку.

Точно так же после последовательного совершения обеих подстановок двойка перейдет в тройку, тройка перейдет в единицу:

Таким образом перемножаются любые две подстановки. Таблица умножения выглядит следующим образом:

Первый множитель	Второй множитель
P0	P1	P2	P3	P4	P5
P0	P0	P1	P2	P3	P4	P5
P1	P1	P0	P3	P2	P5	P4
P2	P2	P4	P0	P5	P1	P3
P3	P3	P5	P1	P4	P0	P2
P4	P4	P2	P5	P0	P3	P1
P5	P5	P3	P4	P1	P2	P0

 

Из таблицы видно, что результатом умножения любых двух подстановок снова является подстановка из числа перечисленных, значит, выполнен закон умножения группы. Проверим аксиомы группы:

1. Ассоциативность: непосредственной проверкой можно убедиться, что наше умножение удовлетворяет ассоциативности.

(P₂ • P₃) • P₄ = P₅ • P₄ = P₂

P₂ • (P₃ • P₄) = P₂ • P₀ = P₂

2. Тождественная подстановка P₀ есть единственная подстановка, удовлетворяющая условию: P₀ • P_i = P_i • P₀ = P_i для любой подстановки P_i.

3. Наконец, к каждой подстановке имеется обратная, дающая в произведении с данной тождественную подстановку: обратная подстановка к данной ставит все числа, смещенные подстановкой, на их прежние места. Чтобы в таблице умножения найти сразу подстановку, обратную к данной подстановке, надо в строчке, отмеченной слева данной подстановкой, найти элемент Р₀; в заголовке столбца, в котором лежит этот элемент, и стоит подстановка, обратная данной. Как легко видеть:

P₀^-1 = P₀, P₃^-1 = P₄,

P₁^-1 = P₁, P₄^-1 = P₃,

P₂^-1 = P₂, P₅^-1 = P₅.

2. Умножение подстановок не обладает свойством коммутативности:

P₂ • P₃ = P₅

P₃ • P₂ = P₁

Итак, совокупность всех подстановок из трех элементов есть конечная неабелева группа.

 

Пример 2. Симметрическая группа второй степени образует конечную абелеву группу.

1). Ассоциативность: () = ()

2). Нейтральный элемент: P₀

3). Обратный элемент:

 

4). Коммутативность:

 

Пример 3. Так как группа всех перестановок множества Х – это группа биекций Х → Х, то можно если взять в качестве Х множество R, мы получим бесконечное множество подстановок.

 

Линейные группы

Существуют группы, состоящие не из всех биекций некоторого множества Х, а сохраняющие некоторую структуру, определенную на множестве Х.

Различные группы матриц относительно операции умножения называются линейными группами.

Пример 1. Множество G L_n(K) всех невырожденные матриц размера

n х n над полем Р с умножением матриц в качестве групповой операции при

n ≥ 2 образует абелеву группу. Она называется общей линейной группой.

Действительно, произведение двух невырожденных матриц будет невырожденным. [*]

Нейтральным элементом будет единичная матрица, которая является невырожденной, так как ее определитель всегда равен 1.

 

 

Всякая невырожденная матрица обладает обратной матрицей, также невырожденной, так как определитель обратной матрицы вычисляется как:

 

 

где det A ≠ 0.

Наконец, закон ассоциативности, выполняясь для всех матриц, справедлив, в частности, для матриц невырожденных.

Пример 2 Специальная линейная группа

SLn(K)={M GLn(K)| det M=1}

Пример 3. Множество квадратных вещественных симметрических матриц фиксированного порядка образуют группу с групповой операцией сложения.

Так как при сложении любых двух симметрических матриц всегда получаем только симметрическую матрицу, то групповая операция сложения не выводит элементы за пределы группы.

Ассоциативность выполняется в силу ассоциативности сложения. Единичный элементом является нулевая матрица. Обратным элементом для матрицы А является, очевидно, матрица –А, тоже симметрическая. Коммутативность также выполнена в силу коммутативности операции сложения.

Поэтому множество квадратных вещественных симметрических матриц фиксированного порядка образуют группу с групповой операцией сложения образуют абелеву группу.

Пример 4. Группа верхних треугольных матриц образует группу относительно операции умножения матриц.

Заметим, что ассоциативность умножения матриц следует из общей ассоциативности умножения, нейтральным элементом является единичная матрица, а обратным – обратная, которая существует для любой квадратной матрицы и находится по формуле АА^-1 = Е. Остается доказать, что умножение двух верхних треугольных матриц снова дает верхнюю треугольную матрицу. А это действительно так, поскольку каждый элемент матрицы-перемножения двух матриц

 

ищется по формуле

А так как суммироваться будут только ненулевые элементы, то матрица – произведение будет иметь такой же вид, как и исходные.

Пример 5

 

Группы движений

Движением (перемещением) плоскости называется такое преобразование, которое сохраняет расстояния. Другими словами, преобразование F называется перемещением, если для любых двух различных точек А и В плоскости справедливо соотношение | АВ | = | А'В' |, где А' = F (А) и B' = F(B).

Рассмотрим плоскость с введенной на ней метрикой ρ. Биективное отображение φ: R^2→ R² называется движением (изометрией), если оно сохраняет расстояния:

Пример 1. Множество движений плоскости образуют группу Isom (R²) с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент – тождественное отображение, обратный – обратное отображение. Композиция ассоциативна.

 

Пример 2. Пусть F – произвольная фигура на евклидовой плоскости. Множество всех движений евклидовой плоскости, переводящих F на себя, с операцией «композиция двух движений», является группой. Эта группа называется группой симметрий фигуры F.

В группе симметрий правильного n – угольника имеется ровно 2 n элементов: n вращений по часовой стрелке на углы

Вокруг его центра и n отражений относительно прямых, проходящих через центр и одну из его вершин или середину одной из его сторон. Все вращения в группе симметрий правильного n -угольника образуют подгруппу, которая называется группой вращения данного n -угольника.

Пример 3. Множество взаимно однозначных отображений множества Х на себя образует группу относительно операции композиции

Пример 4. Множество самосовмещений n -угольного диэдра

Диэдр состоит из правильной n -угольной пирамиды и ее зеркального отражения в плоскости основания. Группа самосовмещений диэдра состоит из поворотов оси пирамиды (на углы 0, , …, ) и так называемых опрокидываний, т.е. поворотов на угол π вокруг каждой из осей симметрии основания диэдра, т. е. правильного многоугольника, являющегося

общим основанием обеих пирамид, составляющих диэдр. Таких осей симметрии имеется n, так что перемещений второго рода имеется тоже n.

Число всех полученных перемещений есть, таким образом, 2n.

Всякое совмещение диэдра с самим собой должно либо оставлять

на месте точки S и S' (самосовмещения первого рода), либо менять их местами (самосовмещения второго рода). Основание диэдра должно переходить при таком перемещении в самого себя.

Заметим, что произведение (т. е. последовательное осуществление) двух самосовмещений первого рода дает самосовмещение первого рода, произведение самосовмещений первого рода с самосовмещениями второго рода дает самосовмещение второго рода, а произведение двух самосовмещений второго рода дает самосовмещение первого рода.

При этом произведение двух самосовмещений, из которых одно — первого, а другое — второго рода, зависит от порядка сомножителей: если а — самосовмещение первого, а b — самосовмещение второго рода, то аb = ba^-1.

При самосовмещениях первого рода основание переходит в само себя, оставаясь в своей плоскости; оно испытывает, таким образом, поворот на один из углов: 0, , …, .

Таким образом, и все перемещение диэдра оказывается поворотом вокруг оси диэдра на тот же угол. Итак, самосовмещений первого рода имеется (включая тождественное самосовмещение, т. е. покой) ровно n.

Эти самосовмещения суть не что иное, как повороты диэдра вокруг его оси на углы 0, , …, .

Пусть дано некоторое вполне определенное самосовмещение второго рода, т. е. такое самосовмещение диэдра с самим собой, при котором вершины S и S' меняются местами.

Произведем после данного самосовмещения второго рода некоторое вполне определенное опрокидывание диэдра, т. е. перемещение, заключающееся в повороте диэдра на угол π вокруг одной какой-нибудь зафиксированной оси симметрии основания. Получим cамосовмещение первого рода (произведение двух самосовмещений второго рода есть самосовмещение первого рода.), т. е. поворот диэдра вокруг его оси.

Итак, всякое самосовмещение второго рода переходит после одного и того же опрокидывания в некоторое самосовмещение первого рода. Отсюда следует легко: всякое самосовмещение второго рода можно получить, производя (до или после некоторого самосовмещения первого рода) одно и то же опрокидывание.

Отсюда, далее следует, что число самосовмещений второго рода равно числу самосовмещений первого рода.т. е. n.

С другой стороны, ясно, что все опрокидывания являются самосовмещениями второго рода. Так как этих опрокидываний имеется ровно n, то ими, очевидно, и исчерпывается вся совокупность самосовмеще-

ний второго рода.

Таким образом, группа самосовмещений n -угольного диэдра есть некоммутативная группа порядка 2n, состоящая из n поворотов вокруг оси диэдра SS' и из n опрокидываний, т. е. поворотов на угол π вокруг осей симметрии основания диэдра. Все n опрокидываний получаются умножением одного из них на n поворотов диэдра вокруг его оси SS'.