Логарифмический критерий устойчивости.

Построение АФЧХ сложных САУ требует много времени. Исследование устойчивости САУ значительно упрощается при использовании логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ), что объясняется простотой их построения и явной связью параметров системы с видом этих характеристик. Он также дает возможность сравнительно просто определить характеристики корректирующего устройства для обеспечения нужных показателей качества САУ. С помощью этого критерия определяется устойчивость замкнутой САУ по взаимном расположении ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Базируется он на критерии устойчивости Найквиста.
Формулируется этот критерий следующим образом: САУ, которая устойчива в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если ордината ЛФЧХ на частоте среза зр. (Точка пересечения ЛАЧХ с осью частот) по абсолютной величине меньше, чем 180⁰.
На рис.8.8 изображены ЛАЧХ и ЛФЧХ двух САУ, которые отличаются только коэффициентом усиления (передачи). При этом устойчивая САУ имеет ЛАЧХ с отметкой 1, а неустойчивая - с пометкой 2.

Рис 8.8 ЛЧХ САУ (1-неустойчивой, 2 - стойкой)

САУ находится на грани устойчивости, если на частоте среза сдвиг по фазе равен минус 180⁰ электрических градусов.
С рис.8.8 легко определить запас устойчивости по амплитуде ΔL, который определяется как количество децибел, на который нужно увеличить усиления системы, чтобы система достигла предела устойчивости.
Запас устойчивости по фазе Δφ определяются как разница между 1800 и абсолютным значением ЛФЧХ на частоте среза, т.е. Δφ = 180⁰ - φ (зр.). Считают достаточным запас устойчивости по фазе - 30⁰ (желательно ≥ 45⁰), по амплитуде - 6 ÷ 12дБ.
Если среднечастотная участок ЛАЧХ (в районе зр) имеет наклон минус 20дб/дек., А ее длина ≥ 0,75 дек, то система устойчива, а ее запас устойчивости по фазе более 60⁰.

Критерий Найквиста можно использовать и по отношению к ЛЧХ. Согласно критерию устойчивости Найквиста САР устойчива, если при (1)

Если использовать логарифмический масштаб, то это означает, что

(2)

Условие (2) можно сформулировать следующим образом:

Если ФЧХ системы в разомкнутом состоянии при частоте среза (то есть при частоте, где ЛАЧХ пересекает ось абсцисс) не достигает значения , то система в замкнутом состоянии устойчива.

Об устойчивости замкнутой САР можно судить по расположению ЛЧХ встречно-параллельных соединяемых звеньев, не прибегая к непосредственному построению ЛЧХ САР в разомкнутом состоянии.

Доказано, что любая замкнутая САР представляется в виде встречно-параллельного соединения звеньев.

Для построения ЛЧХ замкнутой САР необходимо построить характеристики , , , и определить поправки.

Как известно,

Из рисунка видно, что

то есть ординаты между ЛАЧХ и ЛФЧХ прямого и обратного канала представляют собой значения соответственно ЛАЧХ и ЛФЧХ системы в разомкнутом состоянии.

Таким образом, применительно к рассмотренному соединению звеньев критерий устойчивости Найквиста может быть сформулирован следующим образом: САР устойчива в замкнутом состоянии, если в точке пересечения ЛАЧХ прямого канала и обратного ЛАЧХ канала обратной связи разность фаз между ЛФЧХ прямого канала и обратного ЛФЧХ канала обратной связи меньше .