Производные функций многих переменных.

Частные производные функции нескольких переменных. Метод вычисления частных производных.

Лекция №18

23 ноября 2011 года

Длина вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами. Понятие орта. Направляющие косинусы. Задание направления в многомерном пространстве. Производная сложной функции нескольких переменных (без доказательства). Производная по направлению. Градиент и его свойства. Линии и поверхности уровня. Экстремумы функции многих переменных. Необходимый признак экстремума функции многих переменных.

Лекции №19 и №20

30 ноября 2011 года

Достаточный признак экстремума функции двух переменных. Достаточный признак экстремума функции многих переменных (критерий Сильвестра). Определение условного экстремума. Метод неопределённых множителей Лагранжа для нахождения точек, подозрительных на условный экстремум.

Дифференциальные уравнения.

Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении. Порядок дифференциального уравнения. Определение решения дифференциального уравнения. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка. Понятие об общем решении дифференциального уравнения первого порядка. Частные решения дифференциального уравнения. Особые решения дифференциального уравнения. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной. Понятие о дифференциальных уравнениях, не интегрируемых в квадратурах. Геометрический смысл задачи Коши для дифференциального уравнения. Понятие единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной (без доказательства). Метод Эйлера приближённого решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной. Вопрос о «равноправности» независимой переменной и неизвестной функции. Понятие о перевёрнутом уравнении. Понятие об интеграле обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Общие, частные и особые интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример дифференциального уравнения, имеющего особое решение.

Лекция №21

7 декабря 2011 года

(Практическое занятие во время лекции: Примеры решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Два способа записи дифференциального уравнения: в производных и в дифференциалах. Преобразования одного способа записи в другой. Возможность и невозможность получения общего решения. Получение частных интегралов, заменой произвольной постоянной на +∞ и -∞. Возможность получения таких частных интегралов приравниванием нулю знаменателей. Повторение способов нахождения неопределённых интегралов. Повторение правил возведения числа в степень в виде суммы и возведения степени в степень. Переобозначение произвольной постоянной. Примеры решений задачи Коши для дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными). Методика вывода дифференциальных уравнений, основанная на приравнивании дифференциалов. Пример с выводом формулы объёма конуса. Методика вывода дифференциальных уравнений, основанная на физическом смысле производной. Закон естественного роста (закон Мальтуса).

Лекции №22 и №23

14 декабря 2011 года

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (решение методом Бернулли). Пример решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка (число производных постоянных в общем решении и в общем интеграле). Начальная задача для дифференциальных уравнений второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (вид общего решения). Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (получение характеристического уравнения и общего решения при положительном дискриминанте характеристического уравнения). Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (общее решение при нулевом дискриминанте характеристического уравнения). Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (общее решение при отрицательном дискриминанте характеристического уравнения). Примеры решений задач Коши для линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при положительном, отрицательном и нулевом дискриминанте. Понятие о равновесных точках и их устойчивости для дифференциальных уравнений первого порядка, в которых отсутствует независимая переменная. Пример об устойчивости решений уравнений задачи о росте с внутренним сопротивлением и задачи об информации, распространяемой с помощью рекламы.