править]Оценка точности вычисления определённого интеграла

Метод трапеций

Основная статья: Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Метод Симпсона.

Подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степени P(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) ­– полином).

Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = x_i+1 – x_i), то есть три узла x₀, x₁, x₂, через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:

.

Пусть z = x - x₀,
тогда

 

Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:

 

 

.

В итоге

.
Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:

 

Здесь , а в предположении непрерывности четвертой производной подынтегральной функции.

 

[править] Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

Применение правила Рунге

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
, для формул прямоугольников и трапеций , а для формулы Симпсона .
Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов , где n₀ — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие , где ε — заданная точность.

Особенности поведения погрешности.

Казалось бы, зачем анализировать разные методы интегрирования, если мы можем достичь высокой точности, просто уменьшая величину шага интегрирования. Однако рассмотрим график поведения апостериорной погрешности R результатов численного расчета в зависимост и от числа n разбиений интервала (то есть при шаг . На участке (1) погрешность уменьшается в связи с уменьшением шага h. Но на участке (2) начинает доминировать вычислительная погрешность, накапливающаяся в результате многочисленных арифметических действий. Таким образом, для каждого метода существует своя R_min, которая зависит от многих факторов, но прежде всего от априорного значения погрешности метода R.

Уточняющая формула Ромберга.

Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h.
Обозначим интеграл с числом разбиений n = 1 как .
Уменьшив шаг в два раза, получим .
Если последовательно уменьшать шаг в 2ⁿ раз, получим рекуррентное соотношение для расчета .

Пусть мы вычислили четыре раза интеграл с n от 1 до 4. Представим следующий треугольник:
R(1;1)
R(2;1) R(2;2)
R(3;1) R(3;2) R(3;3)
R(4;1) R(4;2) R(4;3) R(4;4)

В первом столбце стоят значения интеграла, полученные при последовательном удвоении числа интервалов. Следующие столбцы – результаты уточнения значения интеграла по следующей рекуррентной формуле:

.

Правое нижнее значение в треугольнике – искомое уточненное значение интеграла.