Показательный закон распределения

Биноминальный закон.

Биноминальный закон распределения характеризует вероятность появления события А n раз в m независимых испытаниях. Если вероятность появления события А в одном опыте равна r (соответственно вероятность его не появления равна ), а число независимых испытаний равно m, то вероятность появления события А n раз в серии m испытаний может быть представлена математической формулой биноминального закона распределения следующим образом

где - число сочетаний m по n, равное .

Биноминальным закон распределения назван потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона. Биноминальный закон распределения применяется при статическом контроле при ограниченной информации о свойствах приборов, которые необходимо расклассифицировать на годные и дефектные.

Закон Пуассона.

Распределение по закону Пуассона обычно применяется для определения вероятности появления заданного числа независимых и несовместимых событий на заданном интервале времени. Вероятность возникновения события А не менее n раз в интервале времени по закону Пуассона задается выражением

где - положительный параметр , представляющий собой среднее число отсчетов за рассматриваемый интервал времени, а n – обычная факториальная целочисленная функция.

Распределение Пуассона является предельным случаем биноминального распределения при неограниченном возрастании числа испытаний.

Гипергеометрический закон.

Пусть в партии изделий объемом N имеется F дефектных. Если взять из всей этой партии методом случайного отбора выборку объемом n, то вероятность того, что во взятой нами выборке окажется f дефектных изделий, в общем случае описывается гипергеометрическим законом

Равномерный закон распределения

Определение. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х на интервале [a, b] называется равномерным, если плотность вероятности f(х) постоянна на этом интервале и равна нулю вне него,т.е.:

f(х) = C = const, если хÎ[a, b],

f(х) = 0, если хÏ[a, b].

Плотность вероятности обладает следующим свойством: . Подставляя, получим:

Откуда:

Функция распределения F(X) может быть найдена путем интегрирования плотности вероятности: .

Таким образом: .

Математическое ожидание: ,

дисперсия: .

Показательный закон распределения

Определение. Показательный(экспоненциальный) закон распределения непрерывной случайной величины Х задается плотностью вероятности:

Функция распределения:

Математическое ожидание: ;

дисперсия: ;

среднее квадратическое отклонение: .

Характерная особенность этого распределения – равенство математического ожидания среднему квадратическому отклонению.

Нормальный закон распределения(закон Гаусса)

Определение. Нормальный закон распределения (закон Гаусса) непрерывной случайной величины Х задается плотностью вероятности :

,где:

а и s - параметры распределения, которые равны, соответственно, ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению, т.е. М(Х)= = а, дисперсия .

График плотности нормального распределения представляет собой кривую симметричную относительно прямой x=a с ординатой, максимальной в точке x=a, и равной . Этот график называется кривой Гаусса.

Функция распределения имеет вид:

Вероятность попадания случайной величины в интервал записывается в виде: , где Ф(x)-функция Лапласа.

Распределение Пирсона χ² (хи-квадрат)

Карл Пирсон (Pearson, 1857-1936) английский математик и биолог. С целью проверки теории Дарвина разработал статистический метод, получивший широкое распространение при исчислении коэффициента корреляции между различными переменными. В частности, в 1900 г. им предложен критерий ‘ хи-квадрат ’. В литературе часто упоминается осуществленный Пирсоном опыт по экспериментальной проверке вероятности выпадания герба при подбрасывании монеты. Из 24000 подбрасываний, герб выпал 12012 раз.

Определение. Распределением χ² (хи квадрат) с n степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых случайных величин, каждая из которых распределена по нормальному закону с параметрами MX= и DX=, т.е: ,

где: Z_i (i =1,2, …,n) - набор n независимых, нормально распределенных случайных величин.

Плотность вероятности распределения χ² определяется выражением:

где: - гамма-функция Эйлера (можно показать, что для целых положительных значений аргумента гамма-функция Эйлера принимает более простой вид: ).

Распределение Стьюдента

Уильям Госсет (1876-1937) – английский статистик, писавший под псевдонимиом “Student” (стьюдент).

Определение. Распределением Стьюдента (или -распределением) называется распределение случайной величины ,

где: Z - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами MX= и DX=, χ² – независимая от Z случайная величина, имеющая распределение χ² с n степенями свободы.

Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону.

F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий:

причем в числителе ставится большая из двух дисперсий. Расчетное F сравнивают с _____________, которое находятиз таблиц, для степеней свободы _____________________________________где N ₁ - число элементов выборки, по который вычислена _______.

N ₂ - число элементов выборки, по которым получена оценка дисперсии ________.

Если F < F _кр, то принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий _________________ при принятом уровне значимости q.

На рис. 1.3 показаны кривые распределения _____. Зачернена область критических значений F.

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить.точность приборов, инструментовили методов измерений. Предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.