Повторные испытания. Формула Бернулли и ее приближения (формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа).

Комплексные числа и действия над ними, их геометрическое толкование.

 

Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

 

Дифференцирование и интегрирование ФКП.

 

Аналитические ФКП и их связь с гармоническими функциями.

 

 

Теорема Коши.

Интегральная формула Коши.

 

 

 

Интеграл типа Коши.

 

 

Степенные ряды в комплексной области.

 

 

Ряд Тейлора.

 

 

Ряд Лорана.

 

 

Особые точки и их классификация.

 

 

Вычеты и их вычисление. Теорема Коши о вычетах.

 

 

Применение вычетов и вычислений интегралов.

 

 

Преобразование Лапласа и его свойства.

 

Теоремы единственности, подобия, линейности, смещения изображения.

 

Теоремы дифференцируемости и интегрируемости изображения и оригинала.

 

 

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

 

 

Элементы комбинаторики. Схема случаев.

 

 

Классическое определение вероятности.

 

 

Геометрическое определение вероятности.

 

 

Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

 

 

Формулы полной вероятности и Байса.

 

Повторные испытания. Формула Бернулли и ее приближения (формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа).

Испытания наз. независимыми, если вероятность результата каждого события А в каждом испытании не зависит от того, какие результаты имели предыдущие испытания, то такие испытания наз. независимыми относительно соб. А.

Если делается n независимых испытаний в одинаковых условиях, причем в каждом из них событие А появляется с вероятностью р, то вероятность появления в этих испытаниях события А равно m раз и находится по формуле Бернулли.

Формула Бернулли. Если вероятность р наступление события А в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, вычисл. по формуле

,

Где

Если число испытаний велико, а вероятность успеха мала, то вероятность m успехов в n испытаниях рассчитывается по формуле Пуассона.

Th. Пуассона. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна, но мала, а число n достаточно большое, но число небольшое, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит m раз вычисляется по формуле Пуассона:

.

Условие применения формулы Пуассона:

При больших n пользуются локальной теоремой Муавра- Лапласа, которая дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события m раз из n испытаний, если число испытаний достаточно велико.

Th. Если вероятность Р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P_n(m) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

Где - называется функцией Лапласа.

Для вычисления функции имеются таблицы, при чом для и владеет такими свойствами:

1. непарная, т.е.

2. монотонно возрастающая, т.е. при

3. граница функции при равна единице

4. для всех значений строго больше 4 можно считать, что