Бор – Зоммерфельд кванттау ережелері

Бор теориясының қайшылықтары

Сутегі және сутегі тектес иондарды түсіндіруде Бор жетістіктері өте көп болғанымен, оның теориясында елеулі кемшіліктері болды. Мысалы, сутегінен кейінгі химиялық элемент, гелийдің атомы екі электроннан тұрады, оны Бор теориясы арқылы қарапайым жолмен түсіндірудің қиындықтары кездеседі. Өйткені барлық электрондар дөңгелек орбитамен қозғалғанда оларға центрден тепкіш күштер әсер етеді, ол күш арақашықтыққа кері пропорционал. Шын мәнінде электронның қозғалысына ядроның өз осінен айналуы да әсер етеді. Электронның осындай дөңгелек орбитамен қозғалуына түзетулер енгізуге тура келеді және электрондар тек дөңгелектік емес эллипстік орбитамен де қозғалады.

Бор теориясын қиындықтан шығарған неміс физигі А. Зоммерфельд болды. Зоммерфельд бойынша сутегі атомының электроны ядроны айнала эллипс бойымен қозғалады (1.13-сурет), ядро оның фокустарының біреуінде жатады, оның заряды +Ze, ал эллипстың үлкен жарты осі:

(1.10.1)

кіші жарты осі (1.10.2)

мұндағы n- бас кванттық, ал - азимуттық кванттық сан. Бас кванттық сан , мұндағы n_r – радиустық кванттық сан.

Эллипстің үлкен жарты осі тек бас кванттық санға, ал кіші жарты осі азимуттық кванттық санмен бас кванттық санға тәуелді болады. Бордың анықтауы бойынша азимуттық кванттық сан еш уақытта нөлге тең болмайды, олай болса, n_φ=1,2,3,4---n, n_r=0,1,2,3-- n-1, сонда сутегі атомы негізгі күйде болғанда n_r=0; n_φ=1; n=1 (n=0+1=1). Бұл жағдайда (1.10.1) және (1.10.2) теңдік бойынша:

(1.10.3)

ал (1.10.4)

олай болса а=b=r_b, яғни электронның бірінші орбитасы дөңгелек болады. Егер n=3болса n_r=1; n_φ=2, онда электронның орбиталарының саны үшеу болады, оның екеуі эллипс ал біреуі дөңгелек (1.12-суретке сәйкес). Осы эллипстік орбитаның үлкен жарты остері бірдей, кіші жарты остері әртүрлі болады. Орбита саны бас кванттық санға тең болады, бірақ олардың формалары бірдей болмайды. Ал оларға сәйкес келетін энергия шамалары, Зоммерфельд теориясы бойынша бірдей болады. (1.7.12).

(1.10.5)

 

Электрон дөңгелектік орбитамен қозғалғанда, оның кинетикалық және потенциалдық энергиясы өзгермейді. Егер электрон эллипстік орбитамен қозғалса, онда электронның ядродан қашықтығы өзгеріп отыратындықтан, потенциалдық энергия үздіксіз өзгереді. Олай болса потенциалдық энергияның өзгеруіне байланысты кинетикалық энергиясы да өзгереді, онда электрон жылдамдығының шамасы да өзгереді. Сонда электронның эллипстік орбитадағы толық энергиясы, немесе ядро өрісіндегі потенциалдық энергиясы:

 

(1.10.6)

 

(1.10.7)

ал толық энергиясы

(1.10.8)

 

(1.10.6) және (1.10.8) формулаларды салыстыра отырып, мынадай қорытындыға келеміз. Егер эллипстық орбитаның үлкен жарты осі дөңгелектік орбитаның радиусына тең болса, онда осы орбиталарда айнала қозғалған электронның энергиялары тең болады.

Сурет

 

А.Зоммерфельдтің анықтауынша квантталған эллипстік орбитаның үлкен жарты осі мына шартты қанағаттандырады:

(1.10.9)

 

Егер электрон қозғалған эллипстік орбитаның үлкен жарты осі бірдей, ал кіші жарты остері әртүрлі болса, онда олардың энергиясы және оған сәйкес сипаттайтын кванттық саны (n) бірдей болады. Бұл процесс электронға сырттан ешқандай күш әсер етпесе осы күйде қала береді (кулондық тартылыс күштен басқа).

Егер қосымша күш пайда болса, онда үлкен жарты ос сол күйінде қалады да кіші жарты осі әртүрлі болып, электрон әртүрлі энергияға ие болады.

Классикалық электродинамика тұрғысынан қарастырсақ, онда тұйық орбита бойымен қозғалған электрон, тұйық сыммен жүрген электр тогына ұқсас, оның да магниттік моменті болады. Онда электронның магниттік моменті электронның орбиталдық импульс моментіне пропорционал, яғни:

(1.10.10)

 

мұндағы - вакуумдағы магниттік өтімділік

Р _l – электронның орбиталдық импульс моменті, ол

Р _l -дің мәнін (1.10.10) формуласына қойсақ:

(1.10.11)

мұндағы - Бор магнетоны деп аталады, оның сан мәні

 

Бор магнетоны тұрақты, атом құрылысындаол маңызды рөл атқарады.