Загальні відомості про електричні фільтри

ВСТУП

 

Метою проведення розрахунково-графічної роботи є закріплення, поглиблення та узагальнення знань, здобутих студентами під час вивчення змістового модуля«Аналогова обробка сигналів», їх застосування до комплексного розв’язання задачі синтезу та розроблення схеми активного RC‑фільтра (із використанням ПЕОМ).

У результаті виконання розрахунково-графічної роботи студент повинен знати послідовність виконання аналізу й синтезу активного RC-фільтра, уміти практично виконувати всі етапи аналізу й синтезу активного RC-фільтра.

Кожен студент отримує індивідуальне завдання для виконання розрахунково-графічної роботи у вигляді виданого керівником номера варіанта, що відповідає номерам рядків із вихідними даними в таблиці 1. Робота виконується згідно з переліком питань, які необхідно опрацювати. Слід пам’ятати, що розрахунково-графічна робота – це самостійна навчальна робота студента.

Завершена робота містить текстову частину та графічний матеріал, що її ілюструє. Обов’язковий графічний матеріал може бути викреслений як уручну, так і засобами відповідного програмного забезпечення ПЕОМ. Текстова частина також може бути рукописною або роздрукованою за допомогою ПЕОМ. Обсяг звіту не має перевищувати 10-15 аркушів. Робота має бути зброшурована степлером та поміщена у канцелярський файл.

Перелік питань, які необхідно опрацювати:

1. Виконати синтез активного RC-фільтра, параметри якого задані в таблиці 1.

2. Розробити принципову схему синтезованого пристрою.

 

Розрахунково-графічна робота повинна вміщувати текстову частину в такому складі:

- титульний лист;

- завдання на розрахунково-графічу роботу;

- зміст;

- список літератури (як рекомендованої у завданні, так і додаткової, якщо вона використовувалась виконавцем).

Обов’язкові графічні матеріали:

- АЧХ синтезованого активного RC-фільтра;

- принципова схема синтезованого пристрою.

Таблиця 1

№ з/п	Смуга пропускання, кГц	Затухання в смузі пропускання Ap maх , дБ	Смуга затримування, кГц	Затухання в смузі затримування Ap mіn, дБ	Характеристика загасання
	0 - 1	1,5	2 - ¥		Баттерворта
	¥ - 5	1,1	3 - 0		Баттерворта
	0 – 1,2	1,2	2,2 - ¥		Баттерворта
	¥ - 4,5	1,3	2,5 - 0		Баттерворта
	0 – 1,4	1,4	3,4 - ¥		Чебишева
	¥ - 4	1,6	2 - 0		Чебишева
	0 – 1,6	1,7	3,6 - ¥		Чебишева
	¥ - 3,5	1,8	1,5 - 0		Чебишева
	0 – 1,8	1,9	3,8 - ¥		Баттерворта
	¥ - 3	2,0	1 - 0		Баттерворта
	0 – 2	1,95	4 - ¥		Баттерворта
	¥ - 2,5	1,85	0,5 - 0		Баттерворта
	0 – 2,2	1,75	4,2 - ¥		Чебишева
	¥ - 2	1,65	0,5 - 0		Чебишева
	0 – 2,4	1,55	4,4 - ¥		Чебишева
	¥ - 6	1,45	4 - 0		Чебишева
	0 – 2,6	1,35	3,6 - ¥		Баттерворта
	¥ - 6,5	1,25	4,5 - 0		Баттерворта
	0 – 2,8	1,15	3,8 - ¥		Баттерворта
	¥ - 7	1,05	5 - 0		Баттерворта
	0 - 3	0,95	5 - ¥		Чебишева
	¥ - 7,5	0,9	5,5 - 0		Чебишева
	0 – 3,2	0,85	5,2 - ¥		Чебишева
	¥ - 8	0,8	6 - 0		Чебишева
	0 – 3,4	0,75	5,4 - ¥		Баттерворта
	¥ - 8,5	0,7	6 - 0		Баттерворта
	0 – 3,6	0,65	4,8 - ¥		Баттерворта
	¥ - 9	0,6	6 - 0		Баттерворта
	0 – 3,8	0,55	4,8 - ¥		Чебишева
	¥ - 9,5	0,5	9 - 0		Чебишева

Вхідний опір: R _вх = 50 кОм.

Коефіцієнт передачі фільтра в смузі пропускання | K ₀| = 1.

 

Рекомендована література:

1. Коваль Ю.О., Гринченко Л.В., Милютченко О.І. Основи теорії кіл. – Ч.1: Навч. підручник. – Харків: ТОВ «Компанія СМІТ», 2006.– 492 с.

2. Коваль Ю.О., Гринченко Л.В., Милютченко О.І. Основи теорії кіл. – Ч.2: Навч. підручник. – Харків: ТОВ «Компанія СМІТ», 2008. – 560 с.

3. Куликовский А.А. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. – Том 2. – М.: Энергия, 1977.

4. Терещук Р.М. Полупроводниковые приёмно-усилительные устройства. – Справ. радиолюбителя. – К.: Наук. думка, 1988.

 

АНАЛІЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ ФІЛЬТРІВ

 

Загальні відомості про електричні фільтри

 

Одним з найбільш розповсюджених пристроїв радіотехніки є електричні фільтри. Вони застосовуються для виділення або заглушення визначених коливань, розділення каналів, формування спектра сигналів.

Електричним фільтром називається чотириполюсник, який пропускає без послаблення або з малим послабленням коливання визначених частот і пропускає із великим послабленням коливання інших частот.

Смуга частот, у якій послаблення мале, називається смугою пропускання.

Смуга частот, у якій послаблення велике, називається смугою непропускання (затримування). Між цими смугами розташована перехідна область (смуга переходу).

За розташуванням на шкалі частот смуги пропускання розрізняють такі фільтри:

- нижніх частот (ФНЧ), у яких смуга пропускання розташована на шкалі частот від Ω = 0 до деякої граничної частоти Ω = Ω_н, а смуга непропускання – від частоти Ω = Ω_з до нескінченно великих частот;

 

 

- верхніх частот (ФВЧ) зі смугою пропускання від частоти Ω = Ω_в до нескінченно великих частот смугою непропускання від Ω = 0 до Ω = Ω_з;

 

 

- смугові (СФ), у яких смуга пропускання Ω_п1-Ω_п2 розташована між смугами непропускання 0-Ω_з1 і Ω_з2-∞;

- загороджувальні (режекторні) (ЗФ або РФ), у яких між смугами пропускання Ω_п1-Ω_п2 знаходиться смуга непропускання Ω_з1-Ω_з2;

 

 

- гребінчасті (ГФ), які мають декілька смуг пропускання і непропускання.

Відповідно до елементної бази, яка використовується в сучасний період, виділилося декілька класів фільтрів.

Історично першими є пасивні фільтри, які містять елементи L та C. Вони мають назву LC-фільтрів.

У багатьох випадках на практиці була потрібна досить висока вибірковість, що призвело до появи фільтрів із механічними резонаторами: кварцевих, магнітострикційних, електромеханічних.

Найбільш значні досягнення в галузі теорії й проектування фільтрів пов’язані з успіхами мікроелектроніки. Вимоги до мікромініатюризації радіоелектронної апаратури привели до відмови у використанні індуктивностей, які мають великі габаритні розміри. Таким чином з’явились активні RC-фільтри, що складаються з резисторів, конденсаторів і активних приладів. Ці фільтри можуть бути виконані у вигляді мікромодульної конструкції або інтегральної мікросхеми.

Розроблення цифрових систем зв’язку і досягнення в сфері цифрових обчислювальних машин стимулювали утворення фільтрів на базі елементів цифрової та обчислювальної техніки – цифрових фільтрів.

Вимоги до електричних характеристик фільтрів.

Вибірковість фільтра (ступінь розмежування смуг пропускання і непропускання) визначається крутизною характеристики робочого затухання. В ідеальному випадку характеристика робочого затухання, наприклад для ФНЧ, має вигляд

Із робочим затуханням пов’язана робоча амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) . Очевидно, АЧХ ідеального ФНЧ має вигляд

Реальні фільтри (тобто фільтри, які складаються з реальних елементів) мають характеристики робочого затухання та АЧХ, які відрізняються від ідеальних.

Вимоги до електричних характеристик фільтрів задаються у вигляді обмежень, які накладаються на ці характеристики. Так, робоче затухання в смузі пропускання не повинно перевищувати деякого максимально припустимого значення А _{р max}, а в смузі непропускання не повинно бути нижче деякого мінімально припустимого значення A _{p min}.

Таким чином, знаючи вимоги до А _р, можна перерахувати ці вимоги до АЧХ де

.

Характеристики фільтрів, які проектуються, повинні вкладатись в ці вимоги.

Окрім вимог до частотної залежності робочого затухання, можуть також накладатися вимоги до фазочастотної характеристики фільтра (припустимі відхилення від лінійного закону), нелінійних спотворень і до інших характеристик та параметрів фільтра.

Ідеальні частотні характеристики фільтра не можуть бути реалізовані, реальні частотні характеристики можуть лише наближатися до них з тим чи іншим ступенем точності залежно від складності схеми фільтра.

Електричні фільтри із передавальною функцією вигляду

 

(1)

 

називаються поліномінальними. Амплітудно-частотна характеристика таких фільтрів має вигляд

. (2)

 

Отже, робоче затухання

 

(3)

 

може при належному виборі степеня полінома (порядку фільтра) і коефіцієнта d _k задовольняти заданим вимогам.

Серед поліномінальних фільтрів найбільш широке застосування знайшли фільтри Баттерворта й Чебишева.

Відмітимо, що в теорії фільтрів користуються нормованою частотою Ω = .

 

Фільтри Баттерворта

Якщо у виразах (2) і (3) прийняти коефіцієнти d ₁= d ₂=...= d _m-1= 0, d _m= 1, то з урахуванням нормованої частоти отримаємо:

, (4)

. (5)

Поліноми В _m(Ω) = Ω^m відомі під назвою поліномів Баттерворта.

Iз виразів (4) і (5) слідує, що на частоті Ω = 0 значення квадрата АЧХ дорівнює одиниці, а робочого затухання – нулю.

Зі зростанням частоти квадрат АЧХ фільтра Баттерворта зменшується, а робоче затухання плавно зростає до нескінченності. Таким чином, вирази (4) і (5) наближено відображають характеристики ідеального фільтра.

Для того, щоб ці характеристики відповідали вимогам до фільтра, необхідно мати робоче затухання виразу (5) у смузі пропускання менше А _рmax, а в смузі непропускання більше А _рmin. Першу умову можна задовольнити, якщо на граничній частоті (Ω = 1) покласти рівність: тоді 1 + d ₀ = exp ; d ₀ = e^{2 A pmax} - 1.

Величина Е = називається коефіцієнтом нерівномірності затухання в смузі пропускання фільтра, де А _рмах вимірюється в неперах. Якщо А _рмах вимірюється в децибелах, то справедливе співвідношення Е = .

З урахуванням уведених позначень:

, (6)

 

[Hp], (7)

 

А _р = 10lg (1+ E ²Ω^2m) [Дб]. (8)

 

Наведемо графічні залежності отриманих функцій (рис. 1):

Відмітимо, що крутизна частотних характеристик залежить від ступеня m, тобто чим більше m, тим вище крутизна характеристик.

Отже, для задоволення вимог у смузі непропускання необхідно вибрати відповідний порядок фільтра – m, який визначається за умови:

A _p(Ω₃) ≥ A_pmin; e^2Apmin; .

Після логарифмування отримаємо 2 m lnΩ₃ ≥ ln .

Остаточно маємо

, (9)

 

. (10)

 

Передавальну функцію фільтра Баттерворта можна отримати з виразу (6), якщо припустити, що j Ω = р, тоді

 

. (11)

 

Визначимо корені знаменника, тобто полюси функції окремо для парних і непарних значень m.

Для парних m: 1 - E ² p ^{2 m} = 0 i , k = 1, 2,…, 2 m.

Оскільки = exp[ j (2 k - 1)π] = cos(2 k - 1)π + j sin(2 k - 1)π, то

 

p _k = .

Для непарних m , k = 1, 2,…, 2 m – 1.

Тоді вираз (11) набуває вигляду:

.

Вибравши полюси, розташовані в лівій напівплощині комплексної змінної р, отримаємо передавальну функцію, що фізично реалізується фільтром Баттерворта вигляду:

 

, (12)

 

де .

Використовуючи позначення B _m(Ω) = Ω^{2 m} – полінома Баттерворта, можна представити частотні характеристики фільтра Баттерворта в такій формі:

 

| H _p(j Ω)|² = , (13)

 

[Hп], (14)

 

[Дб]. (15)

Фільтри Баттерворта називають також фільтрами із максимально плоскими характеристиками затуханням в смузі пропускання.

 

Фільтри Чебишева

Формули типу (13) - (15) за своєю структурою є універсальними. Достатньо замінити в них поліном Баттерворта на деякий інший поліном, і можна отримати новий вид фільтра. Наприклад, якщо замість полінома В _m(Ω) використати так званий поліном Чебишева, тоді отримаємо:

 

; (16)

 

[Hп]; (17)

 

[Дб]. (18)

 

Т _m(Ω) – поліном Чебишева степеня m, Е – коефіцієнт нерівномірності в смузі пропускання фільтра. Фільтри із характеристиками (16) - (18) називаються фільтрами Чебишева. Розглянемо шість поліномів Чебишева:

Т ₀(Ω) = 1, Т ₁(Ω) = Ω, Т ₂(Ω) = 2Ω² – 1, Т ₃(Ω) = 4Ω³-3Ω,

Т ₄(Ω) = 8Ω⁴ - 8Ω²+1, Т ₅(Ω) = 16Ω⁵ - 20Ω³ + 5Ω.

Будь-який поліном Чебишева при m ≥ 2 може бути розрахований за рекурентною формулою: T _m(Ω) = 2Ω T _m-1(Ω) – T _m-2(Ω), тому співвідношення (16) - (18) задовольняють загальним виразом (1) - (3) характеристик поліноміальних фільтрів.

Існує єдина тригонометрична форма запису поліномів Чебишева в інтервалі –1 £ Ω £ 1:

 

T _m(Ω) = cos(m· arсcosΩ). (19)

 

 

Дійсно, Т ₀(Ω) = cos(0arсcosΩ) = 1, T ₁(Ω) = cos(1arсcosΩ) = Ω,

T ₂(Ω) = 2cos(2arсcosΩ) – 1 = 2Ω² – 1. За межами інтервалу –1 £ Ω £ 1 полiноми T _m(Ω) також представляються в тригонометричній формі

 

T _m(Ω) = ch(m· arcchΩ). (20)

 

Аналіз поведінки полiномiв Чебишева показує, що в iнтервалi –1 £ Ω £ 1 кут θ = arccosΩ змінюється вiд –π (при Ω = –1) до нуля (при Ω = +1) і m + 1 разiв досягає значень рiвних «+1» або «-1». Зовні інтервал –1 £ Ω £ 1 T _m(Ω) відповідно до формули (20) монотонно зростає.

Згідно з формулою (18) робоче затухання А _р(Ω) = 0 фільтра Чебишева на тих частотах, де поліном T _m(Ω) перетворюється в нуль. На частотах, на яких T _m(Ω) = ±1, робоче затухання досягає величини

А _р = 10lg(1 + E ²) = 10lg(1 + 10^{0,1 A pmax} - 1) = A _pmax.

Зі зростанням значень полінома T _m(Ω) на частотах Ω > 1 робоче затухання А _р(Ω) також монотонно зростає.

На рисунку 2 наведений графік робочого затухання фільтра Чебишева четвертого порядку.

 

Фільтри Чебишева називають також фільтрами з рiвнохвильовими характеристиками загасання в смузі пропускання.

Для того, щоб характеристики фільтра вiдповiдали вимогам в смузі непропускання, необхідно вибрати порядок фільтра m з умови

| Н _р exp[-2 A _pmin], ураховуючи формулу (20), отримаємо при Ω = Ω₃

m ≥ arch /arch Ω₃ [Hп]; (21)

m ≥ arch /arch Ω₃ [Дб]. (22)

Порівнюючи частотні характеристики фiльтрiв Баттерворта і Чебишева, можна побачити, що поліноми Чебишева є поліномами найкращого наближення.

Це означає, що при однакових значеннях m, фільтр Чебишева в смузі непропускання має більше затухання, ніж фільтр Баттерворта. Однак характеристика робочого затухання фільтра Баттерворта в смузі пропускання має монотонний характер і тому легше піддається коректуванню для усунення спотворень передаваних сигналів.

Вибір типу полiномiнальних фільтрів визначається конкретними умовами їх застосування в радіотехнічних пристроях.

Для отримання передавальної функції фільтра Чебишева замінимо оператор j Ω на оператор р і перейдемо вiд функції | Н _р(j Ω)|² до функції

.

Ураховуючи (19), знайдемо полюси функції | Н _р(р)|², розв’язавши рівняння

 

E ²cos²(m· arccos(p / j)) + 1 = 0. (23)

p _k=shγ sin , k = 1, 2, …, m,(24)

де .

З коренів у лівій напiвплощинi складаються множники типу (р - р _к) і за ними будується передавальна функція фільтра Чебишева:

,

де .