Критерий для отбрасывания резко выделяющихся результатов измерений

При проведении прямых измерений, как отмечалось ранее, могут присутствовать грубые погрешности (промахи). Действие этих погрешностей проявляется в том, что среди множества полученных измерений величины встречаются резко выделяющиеся измерения, которые могут быть промахами. Допустим, является наименьшим значением полученного множества, а - наибольшее значение соответственно. Выдвигается гипотеза о том, что данные измерения и принадлежат той же генеральной совокупности распределенной по закону Гаусса, что оставшиеся значений. Для проверки данной гипотезы используется следующий критерий. Предварительно находят среднее значение и среднеквадратичное отклонение полученной выборки . Затем вычисляют следующих два параметра:

.

Полученные значения сравнивают с табличным значением , взятым из таблицы 0.3. ( - вероятность совершить ошибку при отбрасывании проверяемых измерений, -число измерений)

Таблица 0.3:Значения параметра, используемого для отбрасывания резко выделяющихся результатов измерений

a=0,10	a=0,05	a=0,01
	1,15	1,15	1,15
	1,42	1,46	1,49
	1,60	1,67	1,75
	1,73	1,82	1,94
	1,83	1,94	2,10

Если , то считается, что результат измерения принадлежит полученному множеству . Если , то результат измерения считается промахом, и, следовательно, отбрасывается. При этом вероятность совершить ошибку равна заданному значению . На практике обычно используют значение . Аналогичные рассуждения проводят и для измерения .

Рассмотрим применение данного критерия на следующем примере. Пусть в результате прямых измерений времени падения тела с заданной высоты получены следующие значения: . Пусть данные измерения распределены по закону Гаусса. Измерение , очевидно, резко выделяется среди всех остальных. Проверим гипотезу о том, что данное измерение принадлежит той же генеральной совокупности, что и остальные измерений.

1. Находим среднее значение

2. Находим дисперсию и среднеквадратичное отклонение времени падения

3. Вычислим параметр для

.

4. По таблице 0.3 для вероятности находим критическое значение параметра .

5. Сравнивая вычисленное значение параметра с критическим, делаем вывод: поставленную гипотезу о том, что принадлежит той же генеральной совокупности, с вероятностью совершить ошибку, равной , нужно отбросить, т.е. измерение выбраковывается из выборки. Затем находим новые значения среднего, дисперсии и среднеквадратичного отклонения.

Критерий для проверки равенства средних двух совокупностей.

Пусть из двух нормально распределенных генеральных совокупностей с неизвестными параметрами , и , получены выборки объемом и .По результатам испытаний подсчитаны оценки параметров , ; ; . Требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве значений этих совокупностей, т.е.

Рассмотрим вначале случай, когда дисперсии генеральных совокупностей равны, т.е. . Для проверки поставленной гипотезы вычисляют оценку дисперсии по формуле:

(0.25)

и параметр по формуле

. (0.26)

Полученное значение параметра сравнивают с значением , найденным из таблицы 0.4 для заданного значения вероятности совершить ошибку и числа степеней свободы .

Таблица 0.4:Значения параметра, используемого для проверки равенства средних двух совокупностей.

a=0,10	a=0,05	a=0,025	a=0,01	a=0.005
	6.314	12.706	25.452	63.657	127.30
	2.920	4.303	6.205	9.925	14.089
	2.353	3.182	4.177	5.841	7.453
	2.132	2.776	3.495	4.604	5.597
	2.015	2.571	3.163	4.032	4.773
	1.645	1.96	2.241	2.576	2.807

Если справедливо неравенство , то поставленную гипотезу о том, что средние значения совпадают, не отвергают. При этом вероятность совершить ошибку равна заданному значению .

Если дисперсии генеральных совокупностей не равны, т.е. , то равенство двух средних проверяют с помощью приближенного -критерия, который вычисляют из соотношения

, (0.27)

число степеней свободы при этом определяют из выражения

, где (0.28)

Если выполняется неравенство , то гипотезу с вероятностью совершить ошибку равной заданному значению , не отвергают. В противном случае . И в этом случае вероятность совершить ошибку равна заданному значению .

Рассмотрим применение данного критерия на следующем примере. Пусть в результате проведения измерений получены значения следующие значения импульсов шаров до и после столкновения

- импульс до столкновения.

- импульс после столкновения.

Проверим гипотезу о том, импульсы шаров до и после столкновения равны.

1. Вычисляем параметр

2. Определяем число степеней свободы по формуле:

Вначале находим параметр

Затем вычисляем параметр

3. По табл. 0.4 для заданного значения вероятности совершить ошибку () находим параметр : .

4. Так как то гипотезу о равенстве средних значений двух генеральных совокупностей () с вероятностью совершить ошибку необходимо отвергнуть. Делаем вывод: в данном эксперименте импульс шаров до и после столкновения не равны.