Задачи базового экзаменационного минимума

(1-й курс, 1-й семестр)

1. Найти матрицу Х из уравнения 2А + Х – В·С = 0, где А = , В = , С = .

2. Решить систему уравнений .

3. Вычислить скалярное произведение (3 ), если = (2; -3; 1), = (-2; 1; 4).

4. При каком значении α векторы = 3i + j – αk и = -2i –αj +3k будут ортогональны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору = 2i -3j + 2k и удовлетворяющий условию .

6. Вычислить векторное произведение , если

= (1; -1; -1), = (-2; 1; 4).

7. Вычислить площадь параллелограмма, три вершины которого находятся в точках А (5; -3; 1), В (-1; 3; 2), С (4; 3; -5).

8. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А (-4; 1; 0), В(1; 4; -2), С(-3; 0;-1).

9. Вычислите площадь квадрата, если две противолежащие его вершины находятся в точках А (4; -2) и С (-1; 3).

10. Даны координаты вершин пирамиды (3;1;4), (-1;6;1), (-1;1;6), (0;4;-1). Найти объем пирамиды.

11. Лежат ли точки А(1; 2;-1), В(4; 1; 5), С(-1;2; 1) и D(6; 1; 3) в одной плоскости?

12. Являются ли векторы компланарными?

13. На оси Ох найти точку, расстояние которой до точки А(4; -1) равно 5.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(-1; 0; 3), М₂(3; -2; 4), М₃(-1,2,-5)

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(-1; 0; 3), М₂(3; -2; 4), перпендикулярно плоскости x + 2y - 3z = 0.

16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (3; 4; 0) перпендикулярно прямой .

17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(3; 4; 0) и прямую .

18. Найти точку пересечения прямой и плоскости 3x - y +2z + 2= 0.

19. Найти расстояние от точки до А(3; 4; -2) до плоскости 2x+4y–6z–10 = 0.

20. Найти угол между плоскостями x-2y+5z-7=0 и 3x+5y-4z+12=0.

21. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(3; -2; 5) и

В(1,-4,3).

22. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3; -2; 5) параллельно прямой .

23. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3; -2; 5) перпендикулярно плоскости x + 2y - 3z = 0.

24. Найти угол между прямой и плоскостью

x + 3y – 2z =0.

25. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (3; -8) и точку пересечения прямых 3x – y -2 = 0 и x + y + 6 = 0.

26. Найти проекцию точки А(3; -2) на прямую 2x – 3y +1 = 0.

27. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (3; 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В (2; 5), С (1; 0).

28. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (3; -8) перпендикулярно прямой 3x – y -2 = 0.

29. Даны вершины треугольника А(-3; 4), В(1; -6), С(3; -2). Написать уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины А.

30. Написать уравнение прямой проходящей через точку А(3; -2) параллельно прямой MN, если М (2; -1), N (3; 4).

31. Назвать и построить кривую .

32. Назвать и построить кривую .

33. Назвать и построить кривую .

34. Назвать и построить кривую .

35. Вычислить .

36. Вычислить .

37. Вычислить

38. Вычислить .

39. Вычислить .

40. Вычислить .

41. Вычислить .

42. Вычислить .

43. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = и построить ее график.

44. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = и построить ее график.

45. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = и построить ее график.

46. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

47. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

48. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

49. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке .

50. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости функции .

 

.